Функционал Минковского

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Определение

Для любого векторного пространства ${\displaystyle X}$ (вещественного или комплексного) и его подмножества ${\displaystyle K}$ функционал Минковского ${\displaystyle \ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )}$ определяется как:

${\displaystyle \mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}$.

Предполагается, что ${\displaystyle 0\in K}$ и множество ${\displaystyle \{r>0\mid x\in rK\}}$ непусто. При дополнительных условиях на ${\displaystyle K}$ функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

• из выпуклости и симметричности ${\displaystyle K}$ следует субаддитивность ${\displaystyle \mu _{K}}$, то есть ${\displaystyle \ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)}$;
• однородность — ${\displaystyle \mu _{K}(\alpha x)=|\alpha |\mu _{K}(x)}$ для всех ${\displaystyle \alpha }$ достигается, если ${\displaystyle K}$ — сбалансированное множество, то есть ${\displaystyle \alpha K\subset K}$ для всех ${\displaystyle |\alpha |\leqslant 1}$.

Свойства

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств ${\displaystyle K}$, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle X^{*}}$, так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть ${\displaystyle X}$ — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества ${\displaystyle K\subseteq X}$ сопряжённое множество ${\displaystyle K^{*}\subseteq X^{*}}$ вводится как множество, опорная функция ${\displaystyle s(p,K^{*})}$ которого на векторах ${\displaystyle p\in X}$ совпадает с ${\displaystyle p_{K}}$:

${\displaystyle \forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)}$.

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного ${\displaystyle K}$ выполнено:

${\displaystyle \ K^{**}=K}$

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство ${\displaystyle X^{**}}$ содержит элементы, не лежащие в ${\displaystyle X}$. Можно доопределить опорную функцию на ${\displaystyle K^{*}}$, положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении ${\displaystyle X\hookrightarrow X^{**}}$ образ ${\displaystyle K}$ совпадает с ${\displaystyle K^{**}}$ (при выпуклости и сбалансированности).

См. также

Другие проявления двойственности Минковского:

• Преобразование Лежандра
• Опорный принцип

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.