Опорная функция

Опорной функцией или опорным функционалом множества ${\displaystyle M}$, принадлежащего векторному пространству ${\displaystyle V}$, называется функция ${\displaystyle s_{M}}$ на сопряжённом пространстве ${\displaystyle V^{*}}$, определяемая соотношением

${\displaystyle s_{M}(y)=\sup _{x\in M}y(x).}$

Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве ${\displaystyle V}$ это норма на сопряжённом пространстве.

Свойства

• Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени).
• Оператор ${\displaystyle s_{*}\colon M\to s_{M}}$ взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в ${\displaystyle V}$ на совокупность выпуклых замкнутых положительно однородных функций, обратный оператор — не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции.
  • Именно, если ${\displaystyle M}$ — выпуклое замкнутое подмножество в ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle d(s_{M})=M}$, и если ${\displaystyle p}$ — выпуклая замкнутая однородная функция на ${\displaystyle V^{*}}$, то ${\displaystyle s(dp(0))=p}$.
• ${\displaystyle s_{\lambda A}=\lambda s_{A}}$ если ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.
• ${\displaystyle s_{A+B}=s_{A}+s_{B}}$, где ${\displaystyle A+B}$ обозначает сумму Минковского
• ${\displaystyle s_{A\cap B}=conv(\min\{s_{A},s_{B}\})}$ где ${\displaystyle conv(f)}$ обозначает максимальную выпуклую функцию не превосходящую ${\displaystyle f}$.
• ${\displaystyle s_{A\cup B}=s_{convA\cup B}=\max\{s_{A},s_{B}\}}$ где ${\displaystyle convX}$ обозначает выпуклую оболочку ${\displaystyle X}$.

См. также

• Функционал Минковского

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.