a, b, c — длины сторон, лежащих напротив, соответственно, углов α, β, γ,
полусумма углов треугольника, и
Интересно, что R является тангенсом радиуса описанной окружности данного сферического треугольника[1]:78,83. Три формулы на самом деле представляют собой одну и ту же формулу, в которой лишь заменены обозначения соответствующих углов и сторон.
Тогда по формуле двойного угла (положительный корень взят потому, что сторона меньше 180 градусов):
Применяя формулу сложения аргументов и формулу преобразования суммы функций, получаем:
Аналогично для косинуса половины стороны получаем:
Поэтому
Двойственную к этой формуле, то есть формулу для половины угла, можно получить из неё как обычно — заменой стороны на дополнение соответствующего угла до 180 градусов и углов на дополнения соответствующих сторон до 180 градусов.
Двойственная формула
Двойственными к формулам половины стороны являются формулы для половины угла[1]:74:
где
полусумма сторон треугольника, и
Причём в этом случае r будет тангенсом вписанной окружности сферического треугольника[1]:74.
Формула половины стороны применяется для решения косоугольного сферического треугольника по трём сторонам, то есть когда надо по данным сторонам вычислить каждый из его углов[1]:102-104. Формула половины угла, в свою очередь, используется для решения косоугольного треугольника по трём углам, то есть когда надо при данных трёх углах вычислить каждую из его сторон[1]:104-108. Если же у сферического треугольника один из углов прямой, вместо этих формул для его решения применяется более удобное мнемоническое правило Непера.