Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geqslant 0}}$, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве ${\displaystyle {\big (}\Omega ,{\mathfrak {F}},({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0},P{\big )}}$ с потоком ${\displaystyle ({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}}$.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение ${\displaystyle dX_{t}=a(t,\omega )\,dt+b(t,\omega )\,dB_{t}}$, или, в интегральной форме,

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}a(s,\omega )\,ds+\int \limits _{0}^{t}b(s,\omega )\,dB_{s},}$

где ${\displaystyle B=(B_{t},{\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}}$ — броуновское движение.

Пусть теперь ${\displaystyle F(t,x)}$ — заданная на ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$ непрерывная функция из класса ${\displaystyle C^{1,2}}$, то есть имеющая производные ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}},\ {\frac {\partial F}{\partial x}},\ {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}.}$

При этих предположениях выполняется

${\displaystyle dF(t,X_{t})=\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(t,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(t,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x}}b(t,\omega )\,dB_{t}.}$

Говоря более строго, при каждом ${\displaystyle t>0}$ для ${\displaystyle F(t,X_{t})}$ справедлива следующая формула Ито:

${\displaystyle F(t,X_{t})=F(0,X_{0})+\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(s,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(s,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,ds+\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x}}b(s,\omega )\,dB_{s}.}$

Многомерное обобщение

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Фейнмана — Каца
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения