Участник:Arbnos/Дополнение статей/Эллиптическая модулярная задача обращения в форме Лежандра

Это временная версия статьи Эллиптическая модулярная задача обращения в форме Лежандра. Если это позволяют правила Википедии, то после внесения в неё правок следует переименовать эту страницу в «Эллиптическая модулярная задача обращения в форме Лежандра» без оставления перенаправления. Если статья не подходит под формат Википедии, то её можно перенести в другой вики-проект. Обратите внимание, что временная статья не должна содержаться в категориях, предназначенных для основного пространства имён. Используйте конструкцию [[:Категория:Название категории]] вместо [[Категория:Название категории]] для указания, в какие категории эта статья должна включаться.

Для разрешения уравнения

${\displaystyle ({\frac {dy}{du}})^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}$

в котором ${\displaystyle k}$ задан, для существования аналитического решения необходимо и достаточно показать, что существует такое число ${\displaystyle \tau }$, что

${\displaystyle k^{2}={\frac {\vartheta _{2}^{4}(\tau )}{\vartheta _{3}^{4}(\tau )}},}$

где ${\displaystyle \vartheta _{2}^{4}(\tau ),\vartheta _{3}^{4}(\tau )}$ — тета-константы.

Если уже показано, что такое ${\displaystyle \tau }$ существует, то можно построить решение уравнения в виде эллиптической функции Якоби

${\displaystyle y=sn(u,k).}$

Задача обращения заключается в том чтоб найти решение для ${\displaystyle \tau }$ при заданном ${\displaystyle k}$. Данную работу провел Лежандр и нашел решение в виде

${\displaystyle \tau =\imath {\frac {K'(k)}{K(k)}},}$

где ${\displaystyle K'(k),K(k)}$ — полные эллиптические интегралы первого рода.

Последнее выражение получило название эллиптическая модулярная задача обращения в форме Лежандра.