Уравновешенное множество

Множество ${\displaystyle B}$, принадлежащее векторному пространству ${\displaystyle V}$, называется уравновешенным (закруглённым, сбалансированным), если для любого скаляра ${\displaystyle \alpha }$, такого что ${\displaystyle |\alpha |\leqslant 1}$, выполняется соотношение

${\displaystyle \alpha B\subset B,}$

то есть для любого элемента ${\displaystyle x\in B}$ элемент ${\displaystyle \alpha x\in B}$, ${\displaystyle |\alpha |\leqslant 1}$.

Примеры

• Круг на плоскости, шар в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с центром в начале координат — выпуклые и уравновешенные множества.
• Прямоугольник в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: ${\displaystyle \alpha _{i}\leqslant x_{i}\leqslant \beta _{i},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ — множество выпуклое и, вообще говоря, неуравновешенное.

См. также

Звёздная область

Литература

• Садовничий В. А. Теория операторов: Учебник для вузов. — 4-е изд. — М.: Дрофа, 2001. — 384 с. — ISBN 5-7107-8699-3..