Звёздная область

не выпуклая звёздная область относительно точки ${\displaystyle x_{0}}$

не звёздная область

Звёздная область, относительно точки ${\displaystyle O}$ — подмножество ${\displaystyle D}$ евклидова пространства, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ такое, что отрезок, соединяющий любую точку области ${\displaystyle D}$ с точкой ${\displaystyle O}$, целиком принадлежит этой области. Подмножество называется просто звёздной областью, если существует точка, относительно которой это подмножество звёздное[1].

Это понятие обобщается также на случай комплексных пространств: область ${\displaystyle D}$ в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ называется звёздной относительно начала координат, если для любого числа ${\displaystyle r\in (0,1]}$ выполняется соотношение ${\displaystyle rD\subset D}$. Звёздная область относительно произвольной точки ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ — область вида ${\displaystyle a+D}$, где ${\displaystyle D}$ — звёздная область относительно начала координат[2].

Свойства

Из определения следует, что любая выпуклая область является звёздной. Более того, область является выпуклой тогда и только тогда, когда она является звёздной относительно любой своей точки.

См. также

• Звёздчатый многоугольник
• Звёздчатый многогранник
• Уравновешенное множество

Примечания

1. Humphreys, Alexis. Star convex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Боголюбов, 2006, с. 246.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля / под общ. ред. Суханова А. Д.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 744 с. — ISBN 5-9221-0612-0.