Ультрапредел

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них.

Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

После выбора неглавного ультрафильтра, ультрапредел даёт канонический выбор частного предела последовательности, и, таким образом, позволяет избежать многократного перехода к подпоследовательности.

Неглавный ультрафильтр

Напомним, что ультрафильтр ${\displaystyle \omega }$ на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — это множество подмножеств множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$, которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$ оно содержит либо ${\displaystyle X}$, либо дополнение ${\displaystyle \mathbb {N} \backslash X}$.

Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.

Определения

Далее ${\displaystyle \omega }$ — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Ультрапредел точек

Если ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность точек в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$, то точка ${\displaystyle x_{\omega }\in M}$ называется ${\displaystyle \omega }$-пределом ${\displaystyle (x_{n})}$, если для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ подмножество

${\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\}}$

содержится в ${\displaystyle \omega }$.

В этом случае пишут и обозначается ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$ или ${\displaystyle x_{n}\to x_{\omega }}$ при ${\displaystyle n\to \omega }$.

Ультрапредел пространств

Пусть ${\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность метрических пространств. Рассмотрим всевозможные последовательности точек ${\displaystyle x_{n}\in M_{n}}$. Для двух таких последовательностей определим расстояние как

${\displaystyle |(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n}}.}$

Функция ${\displaystyle ((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|}$ является псевдометрикой со значениями в ${\displaystyle [0,\infty ]}$. Соответствующее ${\displaystyle \infty }$-метрическое пространство ${\displaystyle M_{\omega }}$ называется ${\displaystyle \omega }$-пределом последовательности ${\displaystyle M_{n}}$.

В этом случае пишут и обозначается ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n}}$ или ${\displaystyle M_{n}\to M_{\omega }}$ при ${\displaystyle n\to \omega }$.

Ультрастепень

Ултрапредел постоянной последовательности метрических пространств ${\displaystyle M_{n}=M}$ для ултрафильтра ${\displaystyle \omega }$ также называется ултрастепенью, ${\displaystyle \omega }$-степенью, ультрапополнением или ${\displaystyle \omega }$-пополнением. Обычно ${\displaystyle \omega }$-степень ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle M^{\omega }}$.

${\displaystyle M^{\omega }}$ совпадает с ${\displaystyle M}$ только если ${\displaystyle M}$ — компактно.

Свойства

• Если ${\displaystyle \omega }$-предел последовательности точек существует, то он единственный.
• Если метрическое пространство компактно, то ${\displaystyle \omega }$-предел любой последовательности точек существует и единственный.
  • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определённый ${\displaystyle \omega }$-предел в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \omega }$-предел последовательности является её частичным пределом.
  • В частности, если ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$, то и в стандартном смысле ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$.
• Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности.
• Равенство

  ${\displaystyle f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})}$

выполняется для произвольной непрерывной функции ${\displaystyle f}$, определённой в точке ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$.

• В частности:

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega }y_{n}}$

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n\to \omega }y_{n})}$

См. также

• Ультрафильтр

Литература

• M. Gromov. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9; Ch. 3.
• Petrunin, Anton (2023). "Pure metric geometry". arXiv:2007.09846. {{cite arXiv}}: Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры: |version= and |accessdate= (справка)