Треуго́льная ква́нтовая я́ма — одномерная потенциальная яма, ограниченная с одной стороны бесконечно высокой потенциальной стенкой, а с другой — потенциалом, линейно растущим с увеличением координаты. Один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций находящейся в яме частицы. Модель треугольной ямы используется, в частности, при исследованиях систем с двумерным электронным газом.
При отрицательных значениях функции Эйри осциллируют и имеют бесконечное число нулей. Из граничного условия на бесконечности и экспоненциального роста следует, что константа , то есть решение задачи следует искать в виде[4]
Дискретные уровни энергии
Собственные значения энергии частицы () в треугольной яме определяются из условия обращения в нуль волновой функции на границе бесконечной потенциальной стенки[4]:
где — нули функции Эйри. В результате находим дискретный спектр энергий[1],
а соответствующая дискретному уровню волновая функция имеет вид:
Для первых пяти нулей значения приближённо равны: , , , , [4]. При больших нули функций Эйри определяются выражением[8]:
Нормировка волновой функции
Значения констант находятся из условия нормировки[9]
Вычисляя интеграл от квадрата волновой функции, которая вещественна[10],
находим нормировочные константы, которые зависят от номера квантового уровня:
где — производная функции Эйри.
Функции ортогональны. В этом можно убедиться, вычислив интеграл от произведения волновых функций, принадлежащих разным квантовым состояниям [11]:
Ширина потенциальной ямы
Для рассматриваемой ямы волновые функции экспоненциально убывают при и отличны от нуля при сколь угодно больших расстояниях . Ширина классически доступной () области находится из условия
Задача об энергетическом спектре магнитных поверхностных уровней электронов приближённо сводится к модели треугольной потенциальной ямы. На малых расстояниях от поверхности проводника и в слабом магнитном поле в уравнении Шрёдингера можно пренебречь слагаемыми, квадратичными по векторному потенциалу, и эффективный потенциал ямы линейно зависит от расстояния от поверхности, которая описывается бесконечной стенкой[12].
Модель треугольной ямы используется при исследованиях двумерного электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник и границ двух разных полупроводников. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным (см. рис.2), непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим[13].
↑ 1234Галицкий В. М. Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов. — 3-е издание, исправленное и дополненное. — М.,: Едиториал УРСС, 2001. — С. 33. — 304 с. — ISBN 5-354-00002-5.
↑Неверов В. Н., Титов А. Н.Часть 1. Глава 1. 1.4. Типы низкоразмерных систем. // Физика низкоразмерных систем. — Екатеринбург: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А. М. Горького», 2008. — С. 17. — 232 с.
↑ 1234567З. Флюгге.Задача 40. Свободное падение вблизи земной поверхности // Задачи по квантовой механике (рус.) / под ред. А. А. Соколова. — Москва: Мир, 1974. — Т. 1. — С. 100. — 340 с. Архивировано 4 мая 2021 года.
↑Справочник по специальным функциям с формулами графиками и математическими таблицами (рус.) / Под редакцией М. Абрамовица и И. Стиган. — М.,: Наука, 1979. — С. 268. — 872 с. Архивировано 25 сентября 2024 года.
↑Prange R. E. Three Geometrical Modifications of the Surface-Impedance
Experiment in Low Magnetic Fields (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 171, no. 3. — P. 737—742. — doi:10.1103/PhysRev.171.737.
↑Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 416 с.