Теорема о кинетической энергии системы

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].

Формулировка теоремы

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение[2][3]:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу)[4].

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему материальных точек с массами ${\displaystyle m_{i}}$, скоростями ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ и кинетическими энергиями ${\displaystyle T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}}$. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени ${\displaystyle dt,}$ будет выполняться

${\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.}$

Учитывая, что ${\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}}$ представляет собой ускорение i-ой точки ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$, а ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}dt}$ — перемещение той же точки ${\displaystyle d{\vec {s}}_{i}}$ за время ${\displaystyle dt}$, полученное выражение можно записать в виде:

${\displaystyle dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.}$

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как ${\displaystyle F_{i}}$, получаем

${\displaystyle dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},}$

а затем в соответствии с определением работы ${\displaystyle dA_{i}}$

${\displaystyle dT_{i}=dA_{i}.}$

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

${\displaystyle dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.}$

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},}$

где ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ — значения кинетической энергии системы в моменты времени ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы[5]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

${\displaystyle W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},}$

где ${\displaystyle W_{1i}}$ и ${\displaystyle W_{2i}}$ — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а ${\displaystyle A_{pi}}$ — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

${\displaystyle W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.}$

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны[6], то

${\displaystyle \sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).}$

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})}$

или, что то же самое

${\displaystyle T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.}$

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы ${\displaystyle T+W}$ выполняется

${\displaystyle T+W=const.}$

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии[2][3].

Случай системы с идеальными стационарными связями

Основной источник: [7]

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает[7]:

Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил

Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{k}}$ на ${\displaystyle {\vec {v}}_{k}dt}$, получаем:

${\displaystyle (\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\vec {v}}_{k}dt}$

или

${\displaystyle (d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt}$

Поскольку ${\displaystyle d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}}$, получаем окончательно:

${\displaystyle dT=d'A^{ae}+d'A^{ai}}$

Верхние значки в этих выражениях обозначают: ${\displaystyle ^{a}}$ — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, ${\displaystyle ^{e}}$ (от англ. external) и ${\displaystyle ^{i}}$ (от англ. internal) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема об изменении количества движения системы

Примечания

1. Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 301-323. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
3. Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001. — С. 70-71. — 319 с. — ISBN 5-95052-041-3.
4. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
5. Напомним, что силы называют потенциальными, если работа, совершаемая ими при перемещении материальной точки, определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от выбора траектории.
6. То есть, диссипативные силы отсутствуют.
7. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5