Теорема об изменении количества движения системы

Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает[2][3]:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции[4].

Доказательство

Пусть система состоит из ${\displaystyle N}$ материальных точек с массами ${\displaystyle m_{i}}$ и ускорениями ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$. Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

• Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$.
• Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$, а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$. Очевидно, что если ${\displaystyle i=k}$, то ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=0.}$

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

${\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.}$

Учитывая, что ${\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}}$, и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

${\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.}$

Выражение ${\displaystyle \sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}}$ представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$ соответствует сила ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$ такая, что ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}}$ и, значит, выполняется ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.}$ Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

${\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.}$

Используя для количества движения системы ${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}}$ обозначение ${\displaystyle {\vec {P}}}$, получим

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.}$

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил ${\displaystyle d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt}$, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

${\displaystyle d{\vec {P}}=d{\vec {R}}.}$

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

${\displaystyle {\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),}$

где ${\displaystyle {\vec {P}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}}$ — значения количества движения системы в моменты времени ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ соответственно, а ${\displaystyle {\vec {R}}(t_{2},t_{1})}$ — импульс внешних сил за промежуток времени ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$. В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется

${\displaystyle {\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{i}(t)dt.}$

Закон сохранения количества движения системы

Основная статья: Закон сохранения импульса

Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется ${\displaystyle d{\vec {P}}=0}$ и ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0}$. Иначе говоря, справедливо соотношение

${\displaystyle {\vec {P}}=const.}$

Таким образом, следует вывод:

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы[2][3].

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.

Случай системы с идеальными стационарными связями

Основной источник: [5]

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает[5]:

Если идеальные стационарные связи допускают в любой момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси ${\displaystyle x}$, то производная по времени от проекции количества движения системы на ось ${\displaystyle x}$ равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.

«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом ${\displaystyle ^{a}}$ в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».

Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на ${\displaystyle \delta x}$ параллельно неподвижной оси ${\displaystyle x}$. Заменяя в общем уравнении динамики ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{k}}$ на ${\displaystyle {\vec {i}}\delta x}$, получаем:

${\displaystyle (\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}\delta x}$

или

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}}$

или

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}}$

окончательно находим:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}}$

В предпоследнем уравнении в сумму активных сил ${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{a}}$ включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок ${\displaystyle ^{e}}$ от англ. external) активные силы.

История

О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою»[6]. Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался[6].

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении кинетического момента системы

Примечания

1. Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616—617. — 707 с. — 100 000 экз.
2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
3. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.
4. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
5. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
6. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.