Теорема Хадвигера

Теорема Хадвигера характеризует непрерывные валюации на выпуклых телах в евклидовом пространстве, инвариантные относительно движений. Доказана Гуго Хадвигером.

Введение

Валюации

Пусть ${\displaystyle K^{n}}$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюация на ${\displaystyle K^{n}}$ есть функция ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ такая, что равенство

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$

выполняется для любых ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, что ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$,

При этом

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого ${\displaystyle S\in K^{n}}$ выполняется

  ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$

Средняя поперечная мера

${\displaystyle k}$-ая средняя поредняя поперечная мера ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тела ${\displaystyle S\in K^{n}}$ определяется как средняя ${\displaystyle k}$-мерная площадь проекций ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-мерные плоскости.

В частности,

• ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — объём ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорциональна площади поверхности ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$

Формулировка

Любая непрерывная валюация v на K^n , инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде

${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).}$

Литература

• Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 25—31 июля, 2014 Ярославль
• Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
• Klain, D.A.; Rota, G.-C.^[англ.]. Introduction to geometric probability (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-59362-X.
• Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem (англ.) // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105. — P. 107—120. — doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.