Теорема Бруна

Сходимость к константе Бруна.

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂ (последовательность A065421 в OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919 году, и она имеет историческое значение для методов решета^[англ.].

Асимптотические границы чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ означает число простых ${\displaystyle p\leqslant x}$ чисел, для которых p + 2 тоже является простым (то есть ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для ${\displaystyle x\geqslant 3}$ мы имеем

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).}$

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют маленькое множество^[англ.]. Сумма в явном виде

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10^14 (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578[1]. Найсли расширил вычисления до 1,6⋅10^15 к 18 января 2010 года, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10^16 и получили оценку[2]

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10^16. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана[3].

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Квадруплет простых чисел^[англ.] — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли)[4].

Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел^[англ.], пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Дальнейшие результаты

Пусть ${\displaystyle C_{2}=0,6601\ldots }$ (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

В частности,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4,5{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$,

где 4,5 соответствует случаю ${\displaystyle \varepsilon \approx 3,18}$ выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах[5].

См. также

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

Примечания

1. Nicely, Thomas R. Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant  (неопр.). Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) (18 января 2010). Дата обращения: 16 февраля 2010. Архивировано из оригинала 8 декабря 2013 года.
2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier Introduction to twin primes and Brun’s constant computation  (неопр.). Дата обращения: 5 января 2018. Архивировано 6 января 2018 года.
3. Klyve, Dominic Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant  (неопр.). Дата обращения: 13 мая 2015. Архивировано 18 мая 2015 года.
4. Nicely, Thomas R. Enumeration to 1.6⋅10^15 of the prime quadruplets  (неопр.). Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) (26 августа 2008). Дата обращения: 9 марта 2009. Архивировано из оригинала 30 декабря 2008 года.
5. Damouni, Nadia. Dealtalk: Google bid "pi" for Nortel patents and lost  (неопр.). Reuters (1 июля 2011). Дата обращения: 6 июля 2011. Архивировано из оригинала 3 июля 2011 года.

Литература

• Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. — 1915. — Т. B34, вып. 8.
• Viggo Brun. La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie (Fr) // Bulletin des Sciences Mathématiques. — 1919. — Т. 43. — С. 100–104, 124–128.
• Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. — Cambridge University Press, 2005. — Т. 66. — С. 73–74. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 0-521-61275-6.
• Elementare Zahlentheorie. — Leipzig, Germany: Hirzel, 1927. Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
• William J. LeVeque. Fundamentals of Number Theory. — New York City: Dover Publishing, 1996. — С. 1–288. — ISBN 0-486-68906-9. Содержит более современное доказательство.
• Wu J. Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem // Acta Arithmetica. — 2004. — Т. 114, вып. 3. — С. 215–273. — doi:10.4064/aa114-3-2. — arXiv:0705.1652.
• В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Brun's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Brun's constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums