Теневое исчисление

Теневое исчисление (от англ. Umbral calculus, далее от лат. umbra — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств, а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон Блиссард[1] и они иногда называются символическим методом Блиссарда. Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру), которые их интенсивно использовали[2].

В 1930-х и 1940-х Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгое основание.

В 1970-х Стивен Роман, Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление в смысле линейных функционалов на пространстве многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера^[англ.], включая последовательности многочленов биномиального типа^[англ.] и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей.

Теневое исчисление в 19-м столетии

Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями. Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.

Пример использует многочлены Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты):

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}$

и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли:

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

Также сравним первую производную

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс ${\displaystyle n-k}$ является степенью:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},}$

после дифференцирования получаем желаемый результат:

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

В формулах выше ${\displaystyle b}$ является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).

См. также Формула Фаульхабера.

Теневые ряды Тейлора

Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей. Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими ${\displaystyle k}$-ые правосторонние разности ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$ многочлена ${\displaystyle f}$,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}}$

где

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

— символ Похгаммера, используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.

Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона. Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей.

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики, в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, интенсивно использовал данную технику.

Современное теневое исчисление

Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал ${\displaystyle L}$ над многочленами от ${\displaystyle z}$, определённый как

${\displaystyle L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.}$

Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности ${\displaystyle L}$, можно записать

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).}$

Это позволяет заменить вхождение ${\displaystyle B_{n}(x)}$ на ${\displaystyle L((z+x)^{n})}$, то есть перенести ${\displaystyle n}$ из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}}$

путём разложения правой части

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).}$

Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности, которые возникают в этой области.

В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла, которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.

В статье Романа и Роты[3] теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от ${\displaystyle x}$ с произведением ${\displaystyle L_{1}L_{2}}$ линейных функционалов, определённым как

${\displaystyle \langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{n-k}\rangle .}$

Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы ${\displaystyle y^{n}}$ при линейном отображении ${\displaystyle L}$, теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого термина[4]. Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа^[англ.]. Другая статья — Последовательность Шеффера^[англ.].

Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантов[5].

Примечания

1. Blissard, 1861.
2. Bell, 1938, с. 414–421.
3. Roman, Rota, 1978, с. 95–188.
4. Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973, с. 684.
5. Rota, Shen, 2000, с. 283–304.

Литература

• Bell E. T. The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life // The American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1938. — Т. 45, вып. 7. — С. 414–421. — ISSN 0002-9890. — JSTOR 2304144.
• John Blissard. Theory of generic equations // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1861. — Т. 4. — С. 279–305.
• Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. The umbral calculus // Advances in Mathematics. — 1978. — Т. 27, вып. 2. — С. 95–188. — ISSN 0001-8708. — doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7.
• Rota G. C., Kahaner D., Odlyzko A. On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. — 1973. — Июнь (т. 42, вып. 3). — С. 684. — doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.

• Steven Roman. The umbral calculus. — London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. — Т. 111. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0-12-594380-2.. Reprinted by Dover, 2005.
• Roman S. Umbral calculus // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Rota G.-C. , Shen J. On the Combinatorics of Cumulants // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 91. — С. 283–304.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A. Di Bucchianico, D. Loeb. A Selected Survey of Umbral Calculus // Electronic Journal of Combinatorics. — 2000. — Т. DS3. Архивировано 24 февраля 2012 года.
• Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I