Серединный треугольник

Красный треугольник является серединным треугольником для чёрного. Вершины красного треугольника лежат в серединах сторон чёрного.

Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Свойства

Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$. Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ и что его площадь равна четверти площади треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).

Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника[2].

Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)[3].

Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса^[англ.] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.

Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[7]

Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[8]

Координаты

Пусть ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|}$ — длины сторон треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:

• ${\displaystyle X=0:1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Y=1/a:0:1/c}$
• ${\displaystyle Z=1/a:1/b:0}$

Антисерединный треугольник

Если ${\displaystyle \triangle XYZ}$ — серединный треугольник для ${\displaystyle \triangle ABC}$, то ${\displaystyle \triangle ABC}$ является антисерединным треугольником (антидополнительным) для ${\displaystyle \triangle XYZ}$. Антикомплементарный треугольник для ${\displaystyle \triangle ABC}$ образуется тремя прямыми, параллельными сторонам ${\displaystyle \triangle ABC}$ — параллельно ${\displaystyle AB}$ через точку ${\displaystyle C}$, параллельно ${\displaystyle AC}$ через точку ${\displaystyle B}$ и параллельно ${\displaystyle BC}$ через точку ${\displaystyle A}$.

Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника ${\displaystyle \triangle X'Y'Z'}$ задаются формулами:

• ${\displaystyle X'=-1/a:1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Y'=1/a:-1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Z'=1/a:1/b:-1/c}$

Примечания

1. Posamentier, Lehmann, 2012, с. 177.
2. Altshiller-Court, 2007, с. 161, Теорема 337.
3. Altshiller-Court, 2007, с. 103,#206;108,#1.
4. Franzsen, 2011, с. 233, Лемма 1.
5. Chakerian, 1979, с. 139, Глава 7.
6. Torrejon, 2005, с. 137.
7. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
8. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine

Литература

• Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
• William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
• Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
• G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America,, 1979.
• Ricardo M. Torrejon. On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вып. 5.
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Medial triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.