Расстояние городских кварталов

В метрике городских кварталов длины красной, жёлтой и синей линий равны между собой (12). В геометрии Евклида зелёная линия имеет длину 6√2 ≈ 8,49 и представляет собой единственный кратчайший путь.

Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Германом Минковским. Согласно этой метрике, расстояние между двумя точками равно сумме модулей разностей их координат.

У этой метрики много имён. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика L1 или норма ${\displaystyle \ell _{1}}$ (см. пространство L^p), метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла; на ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ её называют метрикой гриды и 4-метрикой[1][2][3].

Название «манхэттенское расстояние» связано с уличной планировкой Манхэттена[4].

Окружности в дискретной и непрерывной геометрии городских кварталов

Формальное определение

Расстояние городских кварталов ${\displaystyle d_{1}}$ между двумя векторами ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ в n-мерном вещественном векторном пространстве с заданной системой координат — сумма длин проекций отрезка между точками на оси координат. Более формально,

${\displaystyle d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|,}$

где

${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ и ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ — векторы.

Например, на плоскости расстояние городских кварталов между ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ и ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ равно ${\displaystyle |p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|.}$

Свойства

Манхэттенское расстояние зависит от вращения системы координат, но не зависит от отражения относительно оси координат или переноса. В геометрии, основанной на манхэттенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы о конгруэнтных треугольниках.

Для трёхмерного пространства, шар в этой метрике имеет форму октаэдра, вершины которого лежат на осях координат.

Примеры

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Манхэттенское расстояние между двумя полями шахматной доски равно минимальному количеству ходов, которое необходимо ладье, чтобы перейти из одного поля в другое.

Расстояния в шахматах

Расстояние между полями шахматной доски для ферзя (или ладьи, если расстояние считать в полях) равно манхэттенскому расстоянию; король пользуется расстоянием Чебышёва, а слон — манхэттенским расстоянием на доске, повёрнутой на 45°.

Пятнашки

Сумма манхэттенских расстояний между костяшками и позициями, в которых они находятся в решённой головоломке «Пятнашки», используется в качестве эвристической функции для поиска оптимального решения[5].

Клеточные автоматы

Множество клеток на двумерном квадратном паркете, манхэттенское расстояние до которых от данной клетки не превышает r, называется окрестностью фон Неймана диапазона (радиуса) r[6].

См. также

• Нормированное векторное пространство
• Метрика
• Расстояние Хэмминга
• Расстояние Чебышёва
• Французская железнодорожная метрика
• Игра в 15
• Случайное блуждание
• Матрица расстояний

Примечания

1. Елена Деза, Мишель Мари Деза. Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях. 19.1. Метрики на действительной плоскости // Энциклопедический словарь расстояний = Dictionary of Distances. — М.: Наука, 2008. — С. 276. — ISBN 978-5-02-036043-3.
2. Кластерный анализ: Меры расстояния  (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2013. Архивировано 7 апреля 2014 года.
3. Manhattan distance  (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2013. Архивировано 12 ноября 2006 года.
4. City Block Distance. Архивная копия от 13 июня 2014 на Wayback Machine Spotfire Technology Network.
5. История компьютера: Эвристические функции  (неопр.). Дата обращения: 24 июля 2013. Архивировано 17 мая 2014 года.
6. Weisstein, Eric W. von Neumann Neighborhood (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Eugene F. Krause. Taxicab Geometry (неопр.). — Dover, 1987. — ISBN 0-486-25202-7.

Ссылки

• city-block metric Архивная копия от 1 июля 2007 на Wayback Machine on PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Taxicab Metric (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Manhattan distance. Paul E. Black, Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST
• Taxi! — AMS column about Taxicab geometry
• TaxicabGeometry.net — a website dedicated to taxicab geometry research and information