Развёрнутая форма игры

Игра в развёрнутой форме

Развёрнутой формой (англ. extensive form) игры называют её представление в виде дерева. Дерево состоит из вершин и соединяющих их рёбер. Вершины подразделяются на терминальные (конечные) и нетерминальные. Каждая нетерминальная вершина характеризуется множеством допустимых ходов и доступной для игрока информацией. Терминальные вершины сообщают о размере выигрыша, получаемого по их достижении.

В развёрнутой форме можно представить и игры неполной информации. В этом случае игра начинается с хода природы, то есть некого случайного события.

Определение для конечной игры

Конечная игра в развёрнутой форме — это структура ${\displaystyle \Gamma =\langle {\mathcal {K}},\mathbf {H} ,[(\mathbf {H} _{i})_{i\in {\mathcal {I}}}],\{A(H)\}_{H\in \mathbf {H} },a,\rho ,u\rangle }$ где:

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\langle V,v^{0},T,p\rangle }$ — конечное дерево со множеством вершин ${\displaystyle V}$, единственной начальной вершиной ${\displaystyle v^{0}\in V}$, множеством терминальных вершин ${\displaystyle T\subset V}$ (пусть ${\displaystyle D=V\setminus T}$ есть множество нетерминальных вершин) и функцией ближайшего предшественника ${\displaystyle p:V\rightarrow D}$.
• ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — разбиение ${\displaystyle D}$, называемое информационным разбиением.
• ${\displaystyle A(H)}$ — множество возможных действий для каждого информационного множества ${\displaystyle H\in \mathbf {H} }$; эти множества образуют разбиение множества всех возможных действий ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle a:V\setminus \{v^{0}\}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ отображение, ставящее в соответствии каждой вершине ${\displaystyle v}$ единственное действие ${\displaystyle a(v)}$. Обозначим ${\displaystyle a_{v}}$ ограничение отображения ${\displaystyle a}$ на множестве ${\displaystyle s(v)}$ следующих за ${\displaystyle v}$ вершин. Отображение ${\displaystyle a}$ должно удовлетворять условию

${\displaystyle \forall H\in \mathbf {H} ,\forall v\in H}$, ограничение ${\displaystyle a_{v}:s(v)\rightarrow A(H)}$ для ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle s(v)}$ биективно, и ${\displaystyle s(v)}$ есть множество вершин, следующих за ${\displaystyle v}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\{1,...,I\}}$ — конечное множество игроков, ${\displaystyle 0}$ — специальный игрок «Природа», кортеж ${\displaystyle (\mathbf {H} _{i})_{i\in {\mathcal {I}}\cup \{0\}}}$ в качестве элементов ${\displaystyle \mathbf {H} _{i}}$ имеет специфическое для игрока ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}\cup \{0\}}$ подмножество информационного разбиения ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Пусть ${\displaystyle \iota (v)=\iota (H)}$ есть единственный игрок, совершающий ход в вершине ${\displaystyle v\in H}$.
• ${\displaystyle \rho =\{\rho _{H}:A(H)\rightarrow [0,1]|H\in \mathbf {H} _{0}\}}$ — семейство распределений на множестве действий природы.
• ${\displaystyle u=(u_{i})_{i\in {\mathcal {I}}}:T\rightarrow \mathbb {R} ^{\mathcal {I}}}$ — функция выигрыша.

См. также

• Нормальная форма игры

Литература

• Hart, Sergiu^[англ.]. Games in extensive and strategic forms // Handbook of Game Theory with Economic Applications (англ.) / Aumann, Robert; Hart, Sergiu. — Elsevier, 1992. — Vol. 1. — ISBN 978-0-444-88098-7.
• Binmore, Kenneth. Playing for real: a text on game theory (англ.). — Oxford University Press, 2007. — ISBN 978-0-19-530057-4.
• Dresher M. (1961). The mathematics of games of strategy: theory and applications (Ch4: Games in extensive form, pp74-78). Rand Corp. ISBN 0-486-64216-X
• Fudenberg D and Tirole J. (1991) Game theory (Ch3 Extensive form games, pp67-106). Mit press. ISBN 0-262-06141-4
• Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008), Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction, San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers, ISBN 978-1-59829-593-1. An 88-page mathematical introduction; see Chapters 4 and 5. Free online at many universities.
• Luce R. D. and Raiffa H. (1957). Games and decisions: introduction and critical survey. (Ch3: Extensive and Normal Forms, pp39-55). Wiley New York. ISBN 0-486-65943-7
• Osborne MJ and Rubinstein A. 1994. A course in game theory (Ch6 Extensive game with perfect information, pp. 89-115). MIT press. ISBN 0-262-65040-1
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009), Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89943-7. A comprehensive reference from a computational perspective; see Chapter 5. Downloadable free online.