Радикал идеала

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, определяется как

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}}$

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала ${\displaystyle R/I}$ при отображении факторизации. Это также доказывает, что ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ является идеалом.

Примеры

• В кольце целых чисел радикал главного идеала ${\displaystyle (a)}$ — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей ${\displaystyle a}$.
• Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
• В любом коммутативном кольце ${\displaystyle {\sqrt {P^{n}}}=P}$ для простого идеала ${\displaystyle P}$[1]. В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

• ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$. Более того, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
• Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля ${\displaystyle k}$ и любого конечнопорождённого идеала ${\displaystyle J}$ в кольце многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных над полем ${\displaystyle k}$ верно следующее равенство:

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}},}$

где

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}}$

и

${\displaystyle \operatorname {I} (S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\}.}$

Примечания

1. Атья и Макдональд, 2003, Предложение 4.2.

Литература

• Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.