Нильрадикал

Нильрадикал коммутативного кольца — идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов.

Нильрадикал действительно является идеалом, поскольку сумма двух нильпотентных элементов нильпотентна (по формуле бинома Ньютона), как и произведение нильпотентного и произвольного элементов. Также нильрадикал можно охарактеризовать как пересечение всех простых идеалов кольца.

Если ${\displaystyle R}$ — произвольное коммутативное кольцо, то факторкольцо по его нильрадикалу не содержит нильпотентных элементов.

Каждый максимальный идеал прост, поэтому радикал Джекобсона — пересечение всех максимальных идеалов — содержит нильрадикал. В случае артинова кольца они просто совпадают, при этом нильрадикал можно описать как максимальный нильпотентный идеал. В общем случае, если нильрадикал конечно порождён, то он нильпотентен.

Некоммутативные обобщения

В некоммутативном случае можно выделить три способа обобщения понятия нильрадикала. Нижний нильрадикал некоммутативного кольца определяется как пересечение всех первичных идеалов. Верхний нильрадикал — как идеал, порожденный всеми нильпотентными идеалами. Радикал Левицкого по размеру находится между ними, и определяется как максимальный локально нильпотентный идеал^[англ.]. Если кольцо является нётеровым, все три определения совпадают.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David, «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR: 1838439