Проективный объект

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект ${\displaystyle P}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется проективным если для произвольного эпиморфизма ${\displaystyle e\colon E\twoheadrightarrow X}$ и морфизма ${\displaystyle f\colon P\to X}$ существует морфизм ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ для которого ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$, то есть диаграмма:

коммутативна.

Свойства

• В локально малой категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, объект ${\displaystyle P}$ является проективным только если функтор

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

сохраняет эпиморфизмы.[1]

• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — локально малая абелева категория. В этом случае объект ${\displaystyle P\in {\mathcal {C}}}$ является проективным объектом если

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

является точным функтором, где ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ является категорией абелевых групп.

• Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.[2]
• Ретракт проективного объекта является проективным.[3]

Примеры

• Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.

• Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

• Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ левых ${\displaystyle R}$-модулей. Проективными объектами в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$ являются проективные левые R-модули. В частности ${\displaystyle R}$ является проективным объектом в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}.}$

Примечания

1. Mac Lane, Saunders. Categories for Working Mathematician (неопр.). — Second. — New York, NY: Springer New York, 1978. — С. 114. — ISBN 1441931236.
2. Awodey, Steve. Category theory (англ.). — 2nd. — Oxford: Oxford University Press, 2010. — P. 72. — ISBN 9780199237180.
3. Awodey, Steve. Category theory (англ.). — 2nd. — Oxford: Oxford University Press, 2010. — P. 33. — ISBN 9780199237180.