Проблема круга Гаусса

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.

Проблема

В круге в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$с центром в начале координат радиусом ${\displaystyle r\geqslant 0}$ необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид (m,n), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x^2 + y^2 = r^2, эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.}$

Если для заданного r обозначить искомое значение через N(r), то следующий список дает значения N(r) для значений целого радиуса r между 0 и 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (последовательность A000328 в OEIS).

Границы значений и гипотезы

Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой πr^2, то следовало бы ожидать, что число точек будет около πr^2. На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E(r)

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)}$

Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.

Гаусс показал[1], что

${\displaystyle E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Харди[2] и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что

${\displaystyle E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

в нотации o-малое. Существует гипотеза[3], что истинное значение равно

${\displaystyle E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Если переписать последнее выражение в виде ${\displaystyle \|E(r)\|\leqslant Cr^{t}}$, то текущие границы числа t равны

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,}$

где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году[4].

В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы ${\displaystyle O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })}$[5].

Точное представление

Значение N(r) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз, то значение может быть выражено как[6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Много проще выглядит представление с использованием функции r₂(n), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Обобщения

Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой[3]. Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.

Проблема круга для взаимно простых чисел

Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простых целых решений m и n уравнения

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.}$

Эта задача известна как проблема круга для взаимно простых чисел или проблема круга для примитивных чисел[7] Если обозначить число таких решений через V(r), то V(r) для малых целых значений радиуса r равны

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192, … последовательность A175341 в OEIS.

Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходя из факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна 6/π^2, относительно легко показать, что

${\displaystyle V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$

Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключается в уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшим известным показателем является ${\displaystyle {\tfrac {221}{304}}+\epsilon }$, если принять гипотезу Римана[7]. Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является

${\displaystyle V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$

для некоторой положительной постоянной c[7].

В частности, неизвестны границы поправки вида ${\displaystyle 1-\epsilon }$ для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$, если не принимать гипотезу Римана.

См. также

• Геометрия чисел

Примечания

1. G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1999), p.67.
2. G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263—283.
3. R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365—366.
4. M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275—290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR: 1956254.
5. S. Cappell and J. Shaneson, Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem, arXiv:math/0702613, (2007).
6. D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37—38.
7. J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69—81.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.