Принцип общей ковариантности

Принцип общей ковариантности — принцип, утверждающий, что уравнения, описывающие физические явления в различных системах координат, должны иметь в них одинаковую форму. Такие уравнения называют общековариантными. Примером в ньютоновской механике являются уравнения движения в неинерциальных системах отсчёта, включающие в себя силы инерции.

Принцип общей ковариантности имел большое эвристическое значение для вывода уравнений общей теории относительности, где формулировался так: физическое уравнение выполняется в произвольном гравитационном поле, если

• уравнение выполняется в отсутствие гравитации, то есть оно соответствует законам специальной теории относительности, когда метрический тензор в нем равняется тензору плоского пространства-времени Минковского и аффинная связность равна нулю (эквивалентность всех систем отсчета), и
• физическое уравнение общековариантно, то есть оно сохраняет свою форму при произвольном преобразовании координат (физическое содержание уравнений не зависит от выбора системы координат).

Если в результате преобразования координат зависимые от них переменные (функции координат) изменились по некоторому закону, то принцип общей ковариантности требует, чтобы новые функции от новых координат удовлетворяли уравнениям того же вида, что и старые функции от старых координат.

Принцип общей ковариантности и принцип эквивалентности

Предположим, что мы рассматриваем какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее принципу общей ковариантности, в произвольном гравитационном поле. Уравнение общековариантно, то есть оно справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется локально-инерциальная система координат, в которой гравитация отсутствует. Условие соответствия законам специальной теории относительности в отсутствие гравитации означает, что уравнение справедливо в локально-инерциальной системе координат и, в силу общей ковариантности, справедливо во всех других системах координат. Таким образом, принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности.

Границы применимости

Только в малых областях можно находить системы координат, в которых, в силу принципа эквивалентности, отсутствуют эффекты гравитации. Поэтому принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с масштабами гравитационного поля.

Значение для общей теории относительности

Принцип общей ковариантности и требование соответствия закону тяготения Ньютона для слабых полей тяготения и медленных движений тяготеющих масс оказываются достаточными условиями для определения релятивистского закона тяготения общей теории относительности.

Математическое описание

Общековариантными преобразованиями называются преобразования координат вида ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu '}}$ и операторов частных производных ${\displaystyle \partial _{\mu }\to \partial _{\mu '}=\sum _{\nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu '}}}\partial _{\nu }}$[1]. Эти преобразования задают группу симметрий общей теории относительности[2]. Преобразования Лоренца являются частным случаем этих преобразований. Лагранжианы в общей теории относительности могут быть получены из лагранжианов специальной теории относительности заменой в них метрики Минковского на псевдориманову метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, производных ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ на ковариантные производные ${\displaystyle D_{\nu }}$ (${\displaystyle D_{\nu }\tau ^{\mu }=\partial _{\nu }\tau ^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }\tau ^{\alpha }}$) и элемента объёма ${\displaystyle d^{4}x}$ на ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$[2].

См. также

• Лоренц-ковариантность
• Ковариантность и контравариантность (математика)

Примечания

1. Иваненко, 2004, с. 24.
2. Иваненко, 2004, с. 36.

Литература

• Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, 2-е изд.— М.: Наука.— 1961.— 568 с.
• Вейнберг С. «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 4 «Тензорный анализ», п. 1 «Принцип общей ковариантности», с. 106—109;
• Тредер В. А. Теория гравитации и принцип эквивалентности.— М.: Атомиздат.— 1973.— 169 с., УДК 53.02;
• Бергман П. Загадка гравитации., Пер. с англ. В. А. Угарова.— М.: Наука.— 1969.— 530.1 Б 48 УДК 530.12:531.51, гл. 2 «Общая теория относительности», п. 10 «Принцип общей ковариантности», с. 79—84;
• Иваненко Д.Д. , Сарданашвили ГА. Гравитация. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с. — ISBN 5-354-00538-8.