Постоянная Чемпернауна

Постоянная Чемпернауна — трансцендентная действительная константа, чьё разложение на десятичные дроби обладает определёнными важными свойствами. Названа в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемпернауна (англ. D. G. Champernowne), который опубликовал о ней работу в 1933 году будучи студентом[1].

Для десятичной системы счисления, данное число, обозначаемое обычно как ${\displaystyle C_{10}}$, определяется как конкатенация следующих друг за другом положительных целых чисел[2]:

${\displaystyle 0{,}12345678910111213141516\dots }$.

Постоянная Чемпернауна также может быть сконструирована в других системах счисления похожим способом. К примеру:

${\displaystyle C_{2}=0{,}11011100101110111\dots _{2}}$,

${\displaystyle C_{3}=0{,}12101112202122\dots _{3}}$.

Постоянные Чемпернауна могут быть выражены в точности как бесконечный ряд:

${\displaystyle C_{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{10_{b}^{{\big (}{\sum }_{k=1}^{n}\left\lceil \log _{10_{b}}(k+1)\right\rceil {\big )}}}}}$,

где ${\displaystyle \lceil {x}\rceil }$ — округление ${\displaystyle x}$ вверх, ${\displaystyle 10_{b}^{~x}=b^{x}}$ в десятичной системе счисления, ${\displaystyle \log _{10_{b}}(x)=\log _{b_{10}}(x)}$ и ${\displaystyle b}$ — система счисления для постоянной.

Примечания

1. Чемпернаун, 1933.
2. последовательность A033307 в OEIS

Литература

• D. G. Champernowne. The construction of decimals normal in the scale of ten (англ.) // J. London Math. Soc. — 1933. — Vol. 8, iss. 4. — P. 254–260. — doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.