Поворот Вика

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

${\displaystyle ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$,

если координата ${\displaystyle t}$ принимает только мнимые значения. То есть задачу в пространстве Минковского с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle t}$, заменяя ${\displaystyle t=i\tau }$, можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \tau }$.

Статистическая и квантовая механика

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры ${\displaystyle 1/(k_{B}T)}$ мнимым временем ${\displaystyle it/\hbar }$. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре ${\displaystyle T}$. Относительная вероятность нахождения заданного осциллятора в состоянии с энергией ${\displaystyle E}$ есть ${\displaystyle \exp(-E/k_{B}T)}$, где ${\displaystyle k_{B}}$ константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle \langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.}$

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время ${\displaystyle t}$ с Гамильтонианом ${\displaystyle H}$. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией ${\displaystyle E}$ есть ${\displaystyle \exp(-Eit/\hbar ),}$ где ${\displaystyle \hbar }$ редуцированная постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний ${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle }$ приводит к произвольной суперпозиции ${\displaystyle |Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle }$ есть, пропуская нормирующий множитель,

${\displaystyle \;\langle Q|e^{-iHt/\hbar }|\psi \rangle }$

${\displaystyle =\sum _{j}Q_{j}e^{-E_{j}it/\hbar }\langle j|j\rangle }$

${\displaystyle =\sum _{j}Q_{j}e^{-E_{j}it/\hbar }.}$

Статика и динамика

Поворот Вика связывает статические задачи в ${\displaystyle n}$ измерениях с динамическими задачами в ${\displaystyle n-1}$ измерениях, «заменяя» одно пространственное измерение на время. В случае, где ${\displaystyle n=2}$ примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны задаётся функцией ${\displaystyle y(x)}$. Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название принципа наименьшей энергии. Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

${\displaystyle E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,}$

где ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости струны и ${\displaystyle V(x)}$ — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача — бросание камня вверх; на траектории камня, в соответствии с принципом наименьшего действия, достигается локальный минимум действия (действие — это интеграл от функции Лагранжа):

${\displaystyle S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt}$

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя ${\displaystyle -i}$) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle dx}$ на ${\displaystyle idt}$, и коэффициент упругости ${\displaystyle k}$ на массу камня ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle -iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)}$

${\displaystyle =-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(t)\right]dt}$

Ссылки

• Wick rotation Архивная копия от 1 октября 2020 на Wayback Machine — a blog introduction
• A Spring in Imaginary Time Архивная копия от 29 августа 2009 на Wayback Machine — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Температурные функции Грина — здесь поворот Вика используется в квантовой статистики при конечных температурах.