Образ меры под действием отображения

Образ меры — естественная конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения. Если представлять себе меру как распределение массы, а отображение как перенос точкек из одного пространства в другое, то масса множества это суммарная масса попадающих в него точек.

Образ меры ${\displaystyle \mu }$ отображения ${\displaystyle f}$ обычно обозначается ${\displaystyle f_{*}\mu }$, но иногда используется обозначение ${\displaystyle f_{\#}\mu }$.

Определение

Пусть задано измеримое отображение ${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$ измеримых пространств и мера ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle (X,\Sigma _{1})}$, её образом под действием ${\displaystyle f}$ называется мера ${\displaystyle f_{*}\mu }$ на ${\displaystyle (Y,\Sigma _{2})}$, определённая как

${\displaystyle (f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.}$

Свойства

Для функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ между метрическими пространствами, снабжённых борелевскими ${\displaystyle \sigma }$-алгебрами, меру можно рассматриваеть как функционал на непрерывных ограниченных функциях. В этом случае определение образа меры может быть переписано как

${\displaystyle \int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .}$

для любой непрерывной функции ${\displaystyle \varphi }$ с компактым носителем.

См. также

• Инвариантная мера