Неравенство Виртингера

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : R → R является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0}$.

Тогда

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)dx}$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(x)=a\sin x+b\cos x}$, при каких-то a и b

или, что то же самое,

${\displaystyle f(x)=c\sin(x+d)}$ при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемы

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ производной и самой функции:

${\displaystyle {\|f\|}_{L^{2}}^{2}\leq {\|f'\|}_{L^{2}}^{2}}$

В такой форме неравенство является одномерным аналогом неравенства Фридрихса.

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.