Многообразие Гизекинга

Многообразие Гизекинга — трёхмерное гиперболическое многообразие наименьшего объёма.

Построение

Многообразие Гизекинга можно построить путём склеивания двух пар граней идеального равноугольного гиперболического тетраэдра (с двугранными углами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$). Если пронумеровать вершины 0, 1, 2, 3, то грань 0,1,2 надо склеить с гранью 3,1,0 и грань 0,2,3 надо склеить с гранью 3,2,1; в обоих случаях требуется сохранять порядок вершин.

Свойства

Узел «Восьмёрка»

• Многообразие Гизекинга имеет наименьший объём среди всех гиперболических многообразий.
  • Его объём равен объёму правильного идеального гиперболического тетраэдра, он приблизительно равен 1.01494161.

• Двойное накрытие многообразия Гизекинга гомеоморфно к дополнению восьмерки.

• Границе окрестность бесконечности это бутылка Кляйна.

• Первые гомологии многообразия Гизекинга это целые числа.

• Многообразие Гизекинга расслаивается над окружностью с проколотым тором как слой; монодромия задаётся отображением ${\displaystyle (x,y)\to (x+y,x)}$.
  • Квадрат этого отображения — так называемое отображение арнольдовского кота^[англ.]. Это дает еще один способ увидеть, что двойное накрытие многообразия Гизекинга есть дополнение восьмёрки.

Ссылки

• Gieseking, H. (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen, Thesis, Muenster, JFM 43.0202.03
• Adams, Colin C. (1987), "The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume", Proceedings of the American Mathematical Society, 100 (4): 601—606, doi:10.2307/2046691, ISSN 0002-9939, MR 0894423