Логистическое отображение

Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.

Математическая формулировка[1] отображения

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

где:

${\displaystyle x_{n}}$ принимает значения от 0 до 1 и отражает отношение значения популяции в ${\displaystyle n}$-ом году к максимально возможному, а ${\displaystyle x_{0}}$ обозначает начальную численность (в год номер 0);

${\displaystyle r}$ — положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула[2]:

${\displaystyle x_{n+1}=1-\lambda x_{n}^{2}}$

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

• с одной стороны, когда численность популяции мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности;
• с другой стороны, поскольку популяция обитает в среде с ограниченной «ёмкостью», то при росте плотности популяции скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра r

При изменении значения параметра ${\displaystyle r}$, в системе наблюдается следующее поведение [3].

• Если ${\displaystyle r}$ больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
• Если ${\displaystyle r}$ больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение ${\displaystyle {\frac {r-1}{r}}}$, независимо от начальных условий.
• Если ${\displaystyle r}$ больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же придёт к тому же стационарному значению ${\displaystyle {\frac {r-1}{r}}}$, но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения ${\displaystyle r}$=3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
• Если ${\displaystyle r}$ больше 3 и меньше ${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}}$ (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями.
• Если ${\displaystyle r}$ больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
• При значении ${\displaystyle r}$ больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения ${\displaystyle r}$. Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
• При значении ${\displaystyle r}$ приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
• Большинство значений, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений ${\displaystyle r}$, при которых система ведёт себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения ${\displaystyle 1+{\sqrt {8}}}$ (приблизительно 3.83), существует интервал параметров ${\displaystyle r}$, при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений ${\displaystyle r}$ — между 6, потом 12 и т. д. фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
• При ${\displaystyle r}$ > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведён на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра ${\displaystyle r}$, а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения ${\displaystyle x}$.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении ${\displaystyle r}$= 3.82 в одном из трёх ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искажённая и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Программа для построения бифуркационной диаграммы

Следующая программа на языке Python строит бифуркационную диаграмму.

import matplotlib.pyplot as plt

x3 = 0.01
s = []
c = []
l = 0.01
for j in range(200):
    x0=x3
    for i in range(200):
        x0 = 1 - l*x0*x0
        s.append(x0)
        c.append(l)
    x3=x0
    l += 0.01

plt.plot(c,s,'r.',ms=1)
plt.show()

Аналитическое решение

Для ${\displaystyle r=2}$ точное аналитическое решение выглядит следующим образом:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

Примечания

1. Хаос динамический Архивная копия от 22 марта 2012 на Wayback Machine в Физической энциклопедии
2. В. Н. Думачев, В. А. Родин. Эволюция антагонистически-взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста–Пирла (рус.). — Math-Net.ru, 2005. — Т. 17, вып. 7. — С. 11-22. Архивировано 29 января 2011 года.
3. «Java-демонстрация бифуркаций квадратичного отображения Архивная копия от 13 мая 2008 на Wayback Machine» at homepage of Dr Evgeny Demidov.

См. также

• Марковские цепи
• Теория катастроф