Родился 3 октября 1921 года в городе Ижевске в семье рабочего. По национальности русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Окончил неполную среднюю школу в 1939 году. В Красной Армии с 1940 года.
24 августа 1941 года попал в окружение.10 сентября был взят в плен, но 12 ноября бежал. Проверку проходил в спецлагере НКВД в Подольске[4].
На фронтах Великой Отечественной войны с февраля 1943 года. Воевал на Ленинградском и 3-м Белорусском фронтах, был лётчиком, старшим лётчиком, командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиационного полка.
К октябрю 1944 года командир звена 15-го гвардейского штурмового авиаполка (277-я штурмовая авиадивизия, 13-я воздушная армия, Ленинградский фронт) Cовершил 176 боевых вылетов, сбил лично 1 и в группе 6 самолётов противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года за боевые подвиги и проявленные мужество и отвагу гвардиилейтенанту Кунгурцеву Евгению Максимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6233).
К середине февраля 1945 года командир эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиаполка (277-я штурмовая авиационная дивизия, 1-я воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) гвардии старший лейтенант Е. М. Кунгурцев совершил 210 боевых вылетов на разведку и штурмовку опорных пунктов, аэродромов, скоплений войск и техники противника, нанеся ему значительный урон; в воздушном бою сбил вражеский самолёт. В марте 1945 года, будучи тяжело раненым, вновь попал в плен[5][6][7] (был признан убитым — его мать получила «похоронку»[8]), бежал и вернулся в свою часть[9].
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года за новые боевые подвиги гвардии старший лейтенант Кунгурцев Евгений Максимович награждён второй медалью «Золотая Звезда» (№ 42).
После войны — инспектор-лётчик авиационного соединения, командир авиаполка и дивизии. В 1952 году полковник Кунгурцев Е. М. окончил Военно-воздушную академию, а в 1957 году — Военную академию Генерального штаба.
В честь Кунгурцева Е. М. назван прогулочный катер проекта 10110 («Евпатория») «Генерал Кунгурцев», работавший в Бердянске, после 2014 года переведённый в Одессу.
Буров А. В. Твои Герои, Ленинград. 2-е изд., доп. Л.: Лениздат, 1970
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1987. — Т. 1 /Абаев — Любичев/. — 911 с. — 100 000 экз. — ISBN отс., Рег. № в РКП 87-95382.
Дважды Герои Советского Союза. — М.: Воениздат, 1973.
