Критерий согласия Кёйпера

Критерий согласия Кёйпера (также Купера)[1] является развитием критерия согласия Колмогорова и был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Кёйпера используется статистика вида: ${\displaystyle V_{n}=D_{n}^{+}+D_{n}^{-}}$ , где

${\displaystyle D_{n}^{+}=\max {\left({\frac {i}{n}}-F(x_{i},\theta )\right)}}$ ,   ${\displaystyle D_{n}^{-}=\max {\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {i-1}{n}}\right)}}$ , ${\displaystyle i={\bar {1,n}}}$ ,  

${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика ${\displaystyle {\sqrt {n}}V_{n}}$ в пределе подчиняется[1] распределению:

${\displaystyle G(v)=1-\sum _{m=1}^{\infty }2(4m^{2}v^{2}-1)e^{-2m^{2}v^{2}}}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида[2]

${\displaystyle V=V_{n}\left({\sqrt {n}}+0,155+0,24/{\sqrt {n}}\right)}$ ,

или модификацию статистики вида[3]

${\displaystyle V_{n}^{mod}={\sqrt {n}}\left(D_{n}^{+}+D_{n}^{-}\right)+1/(3{\sqrt {n}})}$ .

В первом случае отличием распределения статистики от предельного закона можно пренебречь при ${\displaystyle n>20}$ , во втором — при ${\displaystyle n>30}$ .

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ , где оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного или векторного параметра распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Кёйпера (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения[4].

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе ${\displaystyle H_{0}}$; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя[5].

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Пирсона
• Критерий согласия Ватсона

Примечания

1. Kuiper N. H. Tests concerning random points on a circle // Proc. Konikl. Nederl. Akad. Van Wettenschappen. 1960. Ser. A. V. 63. P. 38 — 47.
2. Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. American Statistic. Associa¬tion. 1974. V. 69. N 347. P. 730—737.
3. Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. О применении и мощности непараметрических критериев согласия Купера, Ватсона и Жанга // Измерительная техника. 2013. № 5. — С.3-9.  (неопр.) Дата обращения: 23 октября 2013. Архивировано 23 октября 2013 года.
4. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. — P.189-211.
5. Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. Применение непараметрических критериев согласия Купера и Ватсона при проверке сложных гипотез // Измерительная техника. 2013. № 9. — С.14-21.  (неопр.) Дата обращения: 23 октября 2013. Архивировано 29 октября 2013 года.