Задача о предписанной скалярной кривизне

Задача о предписанной скалярной кривизне заключается в построении римановой метрики с заданной скалярной кривизной. Эта задача в основном решена в статье Каждана и Уорнера.[1]

Формулировка

Для данного закрытого, гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ и гладкой вещественной функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ построить риманову метрику на ${\displaystyle M}$, для которой скалярная кривизна равна ${\displaystyle f}$.

Решения

• Если размерность многообразия ${\displaystyle M}$ три или выше, то любая гладкая функция ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$, принимающая отрицательное значение является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.

Предположение о том, что ${\displaystyle f}$ должна быть отрицательна в каких-то точках, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрику со строго положительной скалярной кривизной. Например, таким является трёхмерный тор. Однако верно следующее.

• Если ${\displaystyle M}$ допускает одну метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на ${\displaystyle M}$.

См. также

•   Задача Ямабе

Примечания

1. Kazdan, J., and Warner F. Scalar curvature and conformal deformation of Riemannian structure. Journal of Differential Geometry. 10 (1975). 113—134.