Задача Ямабе

Задача Ямабе — вопрос о существовании на данном многообразии римановой метрики с постоянной скалярной кривизной.

Названа в честь Ямабе^[англ.], который опубликовал решение в 1960 году. В 1968 году Трудингер^[англ.] обнаружил ошибку в доказательстве. В 1984 году Трудингер, Обен^[англ.] и Шён^[англ.] опубликовали полное решение[1].

Вариации и обобщения

• Некомпактная задача Ямабе состоит в следующем: существует ли на гладком полном некомпактном римановом многообразии полная конформная метрика постоянной скалярной кривизны? Контрпример был построен Жиреном в 1988 году.
• Задача о предписанной скалярной кривизне

Примечания

1. Selim Tawfik The Yamabe Problem Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine

Ссылки

• Lee, John Marshall; Parker, Thomas H. (1987), "The Yamabe problem", Bulletin of the American Mathematical Society, 17: 37—81, doi:10.1090/s0273-0979-1987-15514-5.
• Trudinger, Neil S. (1968), "Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 22: 265—274, MR 0240748
• Yamabe, Hidehiko (1960), "On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds", Osaka Journal of Mathematics, 12: 21—37, ISSN 0030-6126, MR 0125546
• Schoen, Richard (1984), "Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature", J. Differential Geom., 20: 479–495.
• Aubin, Thierry (1976), "Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire", J. Math. Pures Appl., (9) 55: 269–296.
• Zhiren, Jin (1988), "A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds", Lect. Notes Math., 1306: 93–101., doi:10.1007/BFb0082927