Граф Риба

Граф Риба функции высоты на торе. Критическим уровням функции соответствуют вершины графа, связной компоненте неособого уровня — точка на ребре. Ориентация графа определяется направлением роста функции.

В теории графов, граф Риба некоторой функции описывает связность поверхностей уровня этой функции. Был введен Жоржем Рибом[1]

Определение

Рассмотрим непрерывную функцию, заданную на компактном многообразии, ${\displaystyle f:M\to R}$. Прообраз точки ${\displaystyle y\in R}$ является поверхностью уровня функции ${\displaystyle f^{-1}(y)\subset M}$. Две точки ${\displaystyle x,x'\in M}$ называются эквивалентными, ${\displaystyle x\!\sim x'}$, если они принадлежат одной компоненте связности поверхности уровня ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.

Граф Риба функции ${\displaystyle f}$ — это факторпространство многообразия ${\displaystyle M}$ по такому отношению эквивалентности, ${\displaystyle G=M/\!\sim }$. Вершинами графа являются компоненты связности критических уровней функции. Ориентация графа ${\displaystyle G}$ определяется направлением градиента функции ${\displaystyle f}$.

Свойства

Следующие свойства графа Риба были доказаны в его основополагающей работе[1]:

Пусть на компактном ${\displaystyle n}$-мерном многообразии класса гладкости ${\displaystyle C^{2}}$ задана функция Морса f, все критические точки которой соответствуют разным критическим значениям функции. Множество таких функций открыто и плотно в пространстве всех функций. Обозначим ${\displaystyle \Gamma }$ граф Риба этой функции. Тогда:

• Вершинам степени 1 графа ${\displaystyle \Gamma }$ в точности соответствуют критические точки функции f индекса 0 и n.
• Если ${\displaystyle n\geq 3}$, вершина графа, соответствующая критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса 1 и n-1, может иметь степень 2 или 3.
• Если ${\displaystyle n\,=2}$, вершины графа, соответствующие критическим точкам индекса 1, могут иметь степень 2, 3 или 4.
• Степень вершины графа, соответствующей критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса, отличного от 0, 1, n-1 и n, всегда равна 2.

Эти свойства графа влекут любопытное свойство функций Морса, доказанное там же[1]:

• Обозначим через ${\displaystyle \Omega _{k}}$ множество критических точек функции индекса k и n-k. Если ${\displaystyle n\geq 3}$, то ${\displaystyle |\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2}$.

Применение

Графы Риба используются в математике при изучении

• топологической классификации функций Морса [2]
• гамильтоновых систем [3]

Графы Риба и, в особенности, ациклические графы Риба, называемые контурными деревьями, находят широкое применение в компьютерных приложениях:

• в компьютерном дизайне и геометрическом моделировании,
• в геометрических моделях структуры данных и методах поиска в базах данных
• в системах автоматизации проектных работ.

Примечания

1. G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine
2. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях. // Український математичний журнал. 2003. Т. 55. № 5. С. 687—700.
3. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем, Наука, М., 1997.