Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве можно покрыть ${\displaystyle 2^{n}}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами[1], и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь ${\displaystyle 2^{n}}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для ${\displaystyle n\geqslant 3}$.

История

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г.[2] А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого ${\displaystyle n}$-мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n}}$.[3] В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку ${\displaystyle N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)}$[4]

Формулировка в терминах задачи освещения

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия ${\displaystyle n}$-мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.[5]

Примечания

1. Болтянский, 1965, с. 47.
2. Hadwiger H. Ungelöste Probleme, № 20, Elem. der Math., 12 (1957), 121
3. Болтянский, 1965, с. 48.
4. Болтянский, 1965, с. 49.
5. Болтянский, 1965, с. 57.

Литература

• В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 107 с.