Гипотеза Борсука

Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии:

Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем ${\displaystyle n+1}$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев➤ и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало[1]. Однако в 1993 году был найден контрпример➤.

По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при ${\displaystyle n\leqslant 3}$, и неверна для ${\displaystyle n\geqslant 64}$, вопрос остаётся открытым для ${\displaystyle 4\leqslant n\leqslant 63}$.

Положительные решения

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.

Случай ${\displaystyle n=1}$ очевиден. Случай ${\displaystyle n=2}$ был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом Дьюлы Пала^[венг.] 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1}$. Кроме того, Борсук доказал, что ${\displaystyle n}$-мерный шар нельзя разделить на ${\displaystyle n}$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех ${\displaystyle n}$ для выпуклых тел с гладкой границей[2].

В 1947 году Юлиан Перкаль^[пол.] доказал случай ${\displaystyle n=3}$ для всех ограниченных тел[3], независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный ${\displaystyle n}$-мерный симплекс.

В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек.[4] В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях[5].

Число Борсука

Число Борсука ${\displaystyle f(n)}$ — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы ${\displaystyle f(n)=n+1}$ в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для ${\displaystyle f(n)}$. Сравнительно легко получены оценки ${\displaystyle f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}}$ и ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n}}$. В 1983 году Маршалл Лассак установил, что ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n-1}+1}$.

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка Клода Роджерса (англ. Claude Ambrose Rogers; 1965): ${\displaystyle f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}}$; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:

${\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}}$.

Отрицательные решения

Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году Гилем Калаем (англ. Gil Kalai) и Джеффом Каном (англ. Jeff Kahn)[6], построившими контрпример в размерности ${\displaystyle n=1325}$ и доказавшими невыполнение гипотезы для всех ${\displaystyle n>2014}$. Кроме того, они показали, что для достаточно больших ${\displaystyle n}$ существуют ${\displaystyle n}$-мерные тела, которые нельзя разбить на ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$ частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

• 1993 — ${\displaystyle n\geqslant 2015}$ (Калай — Кан),
• 1994 — ${\displaystyle n\geqslant 946}$ (Нилли),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 903}$ (Вайссбах — Грей),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 561}$ (Райгородский)[7],
• 2000 — ${\displaystyle n\geqslant 560}$ (Вайссбах),
• 2001 — ${\displaystyle n\geqslant 324}$ (Хинрихс),
• 2002 — ${\displaystyle n\geqslant 323}$ (Пихурко),
• 2003 — ${\displaystyle n\geqslant 298}$ (Хинрихс — Рихтер)[8],
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 65}$ (Бондаренко)[9],
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 64}$ (Йенрих)[10].

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты[11]. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$, в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до ${\displaystyle {\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$.

Вариации и обобщения

В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888}$,

то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом[12].

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при ${\displaystyle n=2,3}$[13].

В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей[14].

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ с евклидовой метрикой и с метрикой ${\displaystyle l_{p}}$[15].

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы[16].

Примечания

1. Райгородский, 2006, с. 27.
2. Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.
3. Грюнбаум, 1971, с. 62.
4. B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45. — С. 301–306.
5. B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52. — С. 64–73.
6. J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1. — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.
7. А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
8. A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270. — С. 137—147. Архивировано 27 сентября 2007 года.
9. Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — arXiv:1305.2584.
10. Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — arXiv:1308.0206.
11. Райгородский, 2006.
12. Райгородский, 2006, с. 16.
13. А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83. Архивировано 9 января 2021 года.
14. А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5. — С. 58—63.
15. А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1. — С. 81—90.
16. А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.

Литература

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка). (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М.: Наука, 1971. — 88 с.
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.
• А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006. — 56 с.
• А. Б. Скопенков. ${\displaystyle n}$-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 1999. — Вып. 3 (3).