Геодезический поток

Геодезическим потоком на многообразии ${\displaystyle M}$ называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор ${\displaystyle v}$ за время ${\displaystyle t}$ сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время ${\displaystyle t}$, оставаясь касательным к этой геодезической.

В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении ${\displaystyle TM}$, а не на самом многообразии ${\displaystyle M}$.

Часто рассматривают геодезический поток на пространстве ${\displaystyle T_{1}M}$ единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).

Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.

Примеры

• Как и было сказано выше, для ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ со стандартной евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:

${\displaystyle \Phi ^{t}({X},{V})=({X}+{V}t,{V}).}$

• Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
• Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода ${\displaystyle g>1}$, снабжённой метрикой Пуанкаре.

См. также

• Геодезическая
• Принцип Ферма
• Орициклический поток

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.