Вписанно-описанный четырёхугольник

Поризм Понселе для вписанно-описанных четырёхугольников ABCD и EFGH

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник[1] и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками[2].

Если две окружности, одна внутри другой, являются вписанной окружностью и описанной окружностью некоторого четырёхугольника, то любая точка на описанной окружности является вершиной какого-то (возможно, другого) вписанно-описанного четырёхугольника, имеющего те же самые вписанные и описанные окружности[3]. Это следствие поризма Понселе, который доказал французский математик Жан-Виктор Понселе (1788–1867).

Специальные случаи

Прямоугольный дельтоид

Примерами вписанно-описанных четырёхугольников являются квадраты, прямоугольные дельтоиды и равнобокие описанные трапеции^[англ.].

Описание

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD и его контактный четырёхугольник WXYZ

Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d является бицентрическим тогда и только тогда, когда противоположные стороны удовлетворяют теореме Пито для описанных четырёхугольников и свойству вписанных четырёхугольников, что противоположные углы в сумме дают 180 градусов, то есть

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}}$

Три других описания касаются точек, в которых вписанная окружность в описанном четырёхугольнике касается сторон. Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках W, X, Y и Z соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD является также и описанным в том и только в том случае, когда выполняется любое из следующих трёх условий[4]:

• Отрезок WY перпендикулярен XZ
• ${\displaystyle {\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

Первое из этих трёх условий означает, что контактный четырёхугольник WXYZ является ортодиагональным четырёхугольником.

Если E, F, G, H являются серединами WX, XY, YZ, ZW соответственно, то описанный четырёхугольник ABCD также является описанным тогда и только тогда, когда четырёхугольник EFGH является прямоугольником[4].

Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом[4].

Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.)[4]

Построение

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с контактным четырёхугольником WXYZ. Анимацию смотрите здесь

Имеется простой метод построения бицентрического четырёхугольника:

Построение начинается с вписанной окружности C_r с центром I и радиусом r, затем рисуем две перпендикулярные друг другу хорды WY и XZ во вписанной окружности C_r. На концах хорд проводим касательные a, b, c и d к вписанной окружности. Они пересекаются в точках A, B, C and D, которые являются вершинами вписанно-описанного четырёхугольника[5]. Чтобы нарисовать описанную окружность, рисуем два серединных перпендикуляра p₁ и p₂ к сторонам вписанно-описанного четырёхугольника a и b соответственно. Они пересекаются в центре O описанной окружности C_R на расстоянии x от центра I вписанной окружности C_r.

Справедливость этого построения вытекает из факта, что в описанном четырёхугольнике ABCD контактный четырёхугольник WXYZ имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда описанный четырёхугольник является также вписанным.

Площадь

Формулы в терминах четырёх величин

Площадь K вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах четырёх величин четырёхугольника несколькими способами. Если a, b, c и d являются сторонами, то площадь задаётся формулой[3][6][7][8][9]

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Это частный случай формулы Брахмагупты. Формулу можно получить и прямо из тригонометрической формулы площади описанного четырёхугольника. Заметим, что обратное не выполняется — некоторые четырёхугольники, не являющиеся бицентрическими, также имеют площадь ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$[10]. Примером такого четырёхугольника служит прямоугольник (с разными сторонами, не квадрат).

Площадь может быть выражена в терминах отрезков от вершины до точки касания (для краткости будем называть эти длины касательными длинами) e, f, g, h[11]

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Формула площади вписанно-описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности I[7]

${\displaystyle K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.}$

Если вписанно-описанный четырёхугольник имеет касательные хорды k, l и диагонали p, q, тогда он имеет площадь[12]

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Если k, l являются касательными хордами и m, n являются бимедианами четырёхугольника, тогда площадь может быть вычислена с помощью формулы[7].

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Формула не может быть использована, если четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом, поскольку в этом случае знаменатель равен нулю.

Если M и N являются серединами диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжения сторон, то площадь вписанно-описанного четырёхугольника задаётся формулой

${\displaystyle K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}}$,

где I является центром вписанной окружности[7].

Формулы в терминах трёх величин

Площадь вписанно-описанного четырёхугольника можно выразить в терминах двух противоположных сторон и угла θ между диагоналями согласно формуле[7]

${\displaystyle K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.}$

В терминах двух смежных углов и радиуса r вписанной окружности площадь площадь задаётся формулой[7]

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

Площадь задаётся в терминах радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности как

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

где θ является любым из углов между диагоналями[13].

Если M и N являются средними точками диагоналей, а E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон, площадь можно выразить формулой

${\displaystyle K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}}$,

где Q является основанием перпендикуляра на прямую EF из центра вписанной окружности[7].

Неравенства

Если r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, тогда площадь K удовлетворяет двойному неравенству[14]

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.}$

Равенство получим, только если четырёхугольник является квадратом.

Другим неравенством для площади будет[15]:p.39,#1203

${\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Похожее неравенство, дающее более точную верхнюю границу для площади, чем предыдущее[13]

${\displaystyle K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является прямоугольным дельтоидом.

Кроме того, со сторонами a, b, c, d и полупериметром s:

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$[15]:p.39,#1203

${\displaystyle 6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$[15]:p.39,#1203

${\displaystyle 4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$[15]:p.39,#1203

Формулы углов

Если a, b, c и d являются длинами сторон AB, BC, CD и DA соответственно во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD, то его углы в вершинах можно вычислить с помощью тангенса[7]:

${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{2}}.}$

Если использовать те же обозначения, выполняются следующие формулы для синусов и косинусов[16]:

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.}$

Угол θ между диагоналями можно вычислить из формулы[8].

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}$

Радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности r вписанно-описанного четырёхугольника определяется сторонами a, b, c, d по формуле[3]

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.}$

Радиус описанной окружности R является частным случаем формулы Парамешвары[3]

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.}$

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах последовательных касательных длин e, f, g, h согласно формуле[17].

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.}$

Эти две формулы, фактически, являются необходимыми и достаточными условиями для описанного четырёхугольника с радиусом вписанной окружности r быть вписанным.

Четыре стороны a, b, c, d вписанно-описанного четырёхугольника являются решениями уравнения четвёртой степени^[англ.]

${\displaystyle y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}$,

где s является полупериметром, а r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно[18].

Если имеется вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r, касательные длины которых равны e, f, g, h, то существует вписанно-описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r^v, касательные длины которых равны ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v}}$, где v могут быть любым вещественным числом[19].

Вписанно-описанный четырёхугольник имеет больший радиус вписанной окружности, чем любой другой описанный четырёхугольник, имеющий те же длины сторон в той же последовательности[20].

Неравенства

Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r удовлетворяют неравенству

${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r}$,

которое доказал Л. Фейеш Тот в 1948[21]. Неравенство превращается в равенство, только если две окружности концентричны (центры совпадают). В этом случае четырёхугольник является квадратом. Неравенство можно доказать несколькими различными путями, один из путей использует двойное неравенство для площади выше.

Обобщением предыдущего неравенства является[2][22].

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1}$,

где неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом[23].

Полупериметр s вписанно-описанного четырёхугольника удовлетворяет[24]

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно.

Более того,[15]:p.39,#1203

${\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

и

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$ [15]:p.62,#1599

Расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной окружностей

Вписанно-описанный четырёхугольник ABCD с центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O

Теорема Фусса

Теорема Фусса даёт связь между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и расстоянием x между центром вписанной окружности I и центром описанной окружности O, для любого бицентрического четырёхугольника. Связь задаётся формулой[1][9][25].

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

Или, эквивалентно,

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Формулу вывел Николай Иванович Фусс (1755–1826) в 1792. Решая относительно x, получим

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

Теорема Фусса для вписанно-описанных четырёхугольников, которая является аналогом теоремы Эйлера для треугольников, утверждает, что если четырёхугольник бицентрический, то его две ассоциированных окружности связаны приведённой выше формулой. Фактически, обратное также выполняется — если даны две окружности (одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса, существует выпуклый четырёхугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырёхугольник[26] (а тогда, по теореме Понселе, существует бесконечно много таких четырёхугольников).

Если использовать факт, что ${\displaystyle x^{2}\geqslant 0}$ в выражении теоремы Фусса, получим другим способом уже упомянутое неравенство ${\displaystyle R\geqslant {\sqrt {2}}r.}$ Обобщением неравенства будет[27]

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Тождество Карлица

Другая формула расстояния x между центрами вписанной окружности и описанной окружности принадлежит американскому математику Леонарду Карлицу (1907–1999). Формула утверждает, что[28].

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно, и

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$,

где a, b, c, d являются сторонами вписанно-описанного четырёхугольника.

Неравенства для касательных длин и сторон

Для касательных длин e, f, g, h выполняются следующие неравенства[29]:

${\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$,

где r является радиусом вписанной окружности, R является радиусом описанной окружности, а x является расстоянием между центрами этих окружностей. Стороны a, b, c, d удовлетворяют неравенствам[27]

${\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

и

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).}$

Другие свойства центра вписанной окружности

Центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике коллинеарны.[30]

Есть следующее равенство относительно четырёх расстояний между центром вписанной окружности I и вершинами бицентрического четырёхугольника ABCD:[31]

${\displaystyle {\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$,

где r — радиус вписанной окружности.

Если точка P является пересечением диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности I, то[32]

${\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.}$

Есть неравенство для радиуса r вписанной окружности и радиуса описанной окружности R во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD[33]

${\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2}}$,

где I является центром вписанной окружности.

Свойства диагоналей

Длины диагоналей во вписанно-описанном четырёхугольнике можно выразить терминах сторон или касательных длин. Эти формулы верны для вписанных четырёхугольников и описанных четырёхугольников соответственно.

Во вписанно-описанном четырёхугольнике с диагоналями p и q выполняется тождество[34]:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$,

где r и R являются радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Это тождество можно переписать как[13]

${\displaystyle r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}}$

или, решив его как квадратное уравнение относительно произведения диагоналей, получим

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Есть неравенство для произведения диагоналей p, q во вписанно-описанном четырёхугольнике[14]

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2}}$,

где a, b, c, d — стороны. Неравенство доказал Мюррей С. Кламкин в 1967.

См. также

• Вписанно-описанный многоугольник^[англ.]
• Внеописанный четырёхугольник

Примечания

1. Dörrie, 1965, с. 188–193.
2. Yun, 2008, с. 119—121.
3. Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1] Архивная копия от 23 января 2019 на Wayback Machine, Accessed on 2011-08-13.
4. Josefsson, 2010, с. 165–173.
5. Alsina, Nelsen, 2011, с. 125–126.
6. Josefsson, 2010, с. 129.
7. Josefsson, 2011, с. 155–164.
8. Durell, Robson, 2003, с. 28, 30.
9. Yiu, 1998, с. 158—164.
10. Lord, 2012, с. 345—347.
11. Josefsson, 2010, с. 128.
12. Josefsson, 2010a, с. 129.
13. Josefsson, 2012, с. 237–241.
14. Alsina, Nelsen, 2009, с. 64–66.
15. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum^[англ.], 2007.[2] Архивная копия от 27 апреля 2021 на Wayback Machine
16. Josefsson, 2012, с. 79–82.
17. Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 41.
18. Pop, 2009, с. 754.
19. Radic, 2005, с. 9—10.
20. Hess, 2014, с. 392–393.
21. Radic, 2005.
22. Shattuck, 2018, с. 141.
23. Josefsson, 2012, с. 81.
24. Radic, 2005, с. 13.
25. Salazar, 2006, с. 306–307.
26. Byerly, 1909, с. 123–128.
27. Radic, 2005, с. 5.
28. Calin, 2010, с. 153–158.
29. Radic, 2005, с. 3.
30. Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Архивная копия от 26 апреля 2004 на Wayback Machine, 2004.
31. Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral, 2003, [4].
32. Crux Mathematicorum^[англ.] 34 (2008) no 4, p. 242.
33. Post at Art of Problem Solving, 2009 (недоступная ссылка)
34. Yiu, 1998, с. 158-164.

Литература

• Heinrich Dörrie. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. — New York: Dover, 1965. — С. 188–193. — ISBN 978-0-486-61348-2.
• Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld – A Wolfram Web Resource,.
• Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10. — С. 165–173.
• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10. — С. 119–130.
• Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 155–164.
• Martin Josefsson. A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 79–82.
• Claudi Alsina, Roger Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — С. 125–126. — ISBN 978-0-88385-352-8.
• Nick Lord. Quadrilaterals with area formula ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$ // Mathematical Gazette. — 2012. — Июль (т. 96).
• Martin Josefsson. Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 237–241.
• Claudi Alsina, Roger Nelsen. When less is more: visualizing basic inequalities. — Mathematical Association of America, 2009. — С. 64–66. — ISBN 978-0-88385-342-9.
• Durell C. V., Robson A. Advanced Trigonometry. — Dover, 2003.
• Radic M., Kaliman Z., Kadum V. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one. — Mathematical Communications, 2007. — Т. 12. — С. 33–52.
• Ovidiu T. Pop. Identities and inequalities in a quadrilateral // Octogon Mathematical Magazine. — 2009. — Октябрь (т. 17, № 2). — С. 754—763.
• Mirko Radic. Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. — 2005. — Т. 6, вып. 1.
• Zhang Yun. Euler's Inequality Revisited // Mathematical Spectrum. — 2008. — Май (т. 40, № 3). — С. 119—121.
• Mark Shattuck. A Geometric Inequality for Cyclic Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2018. — Т. 18. — С. 141—154.
• Paul Yiu. Euclidean Geometry. — 1998. — С. 158—164.
• Juan Carlos Salazar. Fuss's Theorem // Mathematical Gazette. — 2006. — Июль (т. 90). — С. 306–307.
• Byerly W. E. The In- and-Circumscribed Quadrilateral // The Annals of Mathematics. — 1909. — Т. 10. — С. 123–128. — doi:10.2307/1967103.
• Ovidiu Calin. Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach. — 2nd ed.. — Wiley Custom Publishing, 2010. — С. 153–158.
• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14. — С. 389–396.