Анзац

Aнза́ц (нем. Ansatz, от an — «при», «над», и setzen — «ставить») — используемый в теоретической физике термин немецкого происхождения[1], обозначающий некую догадку о том, какую форму должно иметь решение уравнения или системы уравнений, а также само это предполагаемое решение (функция или множество функций). Формально эта догадка может не основываться на какой-либо теории (либо основываться на эвристических соображениях), и получать подтверждение лишь после того, как найдено решение рассматриваемых уравнений.

Вначале делается предположение, что решение имеет специфическую форму функции, например многочлен или экспонента, и что эта функция — анзац — имеет ряд неопределённых параметров, которые соответствуют числу уравнений. Анзац подставляется в уравнения, которые предстоит решать, что приводит к системе алгебраических уравнений для свободных параметров, которые, как правило, гораздо легче решить, чем исходные уравнения[2].

Анзац-подход является важным методом при решении дифференциальных уравнений, где есть возможность подставить пробные функции в систему уравнений и проверить решение.

Наиболее известные примеры: подстановка Бете (англ. Bethe ansatz; 1931; в русских источниках термин «анзац» часто встречается как «подстановка»), метод Ритца, анзац Бора[3], анзац Фаддеева — Попова, анзац Грина.

Пример

Чтобы решить дифференциальное уравнение ${\displaystyle y'=ky}$ (где ${\displaystyle k}$ — произвольная константа), нетривиальным решением которого является, предположительно, экспоненциальная функция, рассматривается анзац вида

${\displaystyle y(t)=Ce^{At},}$

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ — ненулевые константы. С учётом того, что ${\displaystyle y'=ACe^{At}=A\cdot y}$, уравнение принимает вид ${\displaystyle A\cdot y=k\cdot y}$. Так как нетривиальное решение ${\displaystyle y}$ не равно тождественно нулю, то ${\displaystyle A=k}$. Окончательное решение уравнения:

${\displaystyle y(t)=C\cdot e^{kt}.}$

Примечания

1. Robbin D. Knapp — A Popular Dictionary of German Words Used in English.
2. Gershenfeld Neil A, (1999) — The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge University Press.
3. Brian Cox, Jeffrey Robert Forshaw. The Quantum Universe: (and Why Anything That Can Happen, Does (англ.).

Ссылки

• Müller.G, Introduction to the Bethe Ansatz (англ.)
• K. Balzer, S. Hermanns and M. Bonitz, The generalized Kadanoff-Baym ansatz. Computing nonlinear response properties of finite systems (англ.)