Метод Ритца

Метод Ритца — прямой метод нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления. Метод назван в честь Вальтера Ритца, который предложил его в 1909 году[1].

Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определенный функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции. Пространственный оператор в операторном уравнении, который описывает краевую задачу, должен быть линейным, симметрическим и положительно-определенным.

Метод Ритца применяется для решения задач вариационного исчисления прямым методом. С помощью прямых методов решаются исходные задачи по нахождению функции в заданном классе, которые доставляют экстремальное значение заданному функционалу.

Основные положения метода Ритца:

• Задача по нахождению функции ${\displaystyle u}$ должна быть сформулирована в вариационной форме
• Решение должно быть представлено в виде конечного линейного ряда вида:

${\displaystyle u(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\phi _{i}+\phi _{0}(x)}$

где ${\displaystyle c_{i}}$ — коэффициенты Ритца, ${\displaystyle \phi _{0},\phi _{i}}$ — аппроксимационные функции

• Коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ находятся из условий минимизации функционала

Метод Ритца часто причисляют к проекционным, наряду с методами Галёркина.

Примечание

1. Walter Ritz (1909) «Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik» Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 135, pages 1—61. Available on-line at: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182 (недоступная ссылка).