Алгебраическое уравнение Риккати

Не следует путать с дифференциальным уравнением Риккати.

Алгебраическое уравнение Риккати — нелинейное матричное уравнение, использующееся при решении некоторых задач теории управления, в частности при построении линейно-квадратичного регулятора и фильтра Кальмана.

Два классических типа алгебраических уравнений Риккати:

• Непрерывное уравнение:

${\displaystyle XDX+XA+A^{*}X-C=0,}$

где ${\displaystyle X}$ — искомая матрица, ${\displaystyle A,D,C}$ — известные квадратные комплексные матрицы, ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle C}$ — эрмитовы.

• Дискретное уравнение:

${\displaystyle X=A^{*}XA+Q-\left(C+B^{*}XA\right)^{*}\left(R+B^{*}XB\right)^{-1}\left(C+B^{*}XA\right),}$

где ${\displaystyle X}$ — искомая матрица, ${\displaystyle A,B,C,Q,R}$ — известные комплексные матрицы, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ могут быть прямоугольными, ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle R}$ — эрмитовы.

Названия обоих типов обусловлены их применением при исследовании соответственно непрерывных и дискретных динамических систем.

Для решения алгебраического уравнения Риккати применяются итерационные методы, например, метод Ньютона, а также различные матричные разложения, особенно спектральное разложение.

Литература

• Lancaster, P., Rodman, L.. Algebraic Riccati Equations (англ.). — Oxford: Clarendon Press, 1995. — ISBN 0-19-853795-6.
• Егоров, А. И.. Уравнения Риккати (рус.). — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-9221-0159-5.