Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].

Возникновение термина

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом ${\displaystyle T}$ и зависит от параметра ${\displaystyle \lambda }$, адиабатичность изменения параметра определяется условием

${\displaystyle T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda }$.

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )}$

Внутренние переменные ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$ меняются со временем быстро, с периодом ${\displaystyle T}$. Но энергия системы ${\displaystyle E}$ является интегралом движения при неизменном параметре ${\displaystyle \lambda }$. При изменении параметра во времени

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}}$.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр ${\displaystyle \lambda }$ неизменен.

${\displaystyle {\overline {\frac {dE}{dt}}}={\frac {d\lambda }{dt}}{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}}$,

где усреднение определено как

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}\,dt}$.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$.

В таком случае период ${\displaystyle T}$ равен

${\displaystyle T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии ${\displaystyle E}$, координаты ${\displaystyle q}$ и параметра, после некоторых преобразований можно получить

${\displaystyle \oint \left({\frac {\partial p}{\partial E}}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t}}}+{\frac {\partial p}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0}$.

Окончательно можно записать

${\displaystyle {\overline {\frac {dI}{dt}}}=0}$,

где величина

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq}$

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл ${\displaystyle \oint p\,dq}$ равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq}$.

Пример. Гармонический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии ${\displaystyle H(p,q)=E}$ и поэтому имеет вид

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E}$.

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями ${\displaystyle {\sqrt {2mE}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$, соответственно его площадь, делённая на ${\displaystyle 2\pi }$, равна ${\displaystyle {\frac {E}{\omega }}}$. Таким образом, величина ${\displaystyle I={\frac {E}{\omega }}}$ является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle 2\pi {\frac {\partial I}{\partial E}}=T}$,

или

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega }$,

где ${\displaystyle \omega }$ — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания

1. Дыхне А. М. Адиабатические инварианты // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. Ааронова—Бома эффект — Длинные линии. — С. 26. — 704 с. — 100 000 экз.
2. Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ в процессе движения системы.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.