Valoração (álgebra)

Valoração, em álgebra abstrata, é uma função que associa a cada elemento um valor ordenado.

Existem várias definições diferentes na literatura, que variam, inclusive, sobre o tipo de objeto que está sendo valorado, e sobre qual é o resultado da valoração.^[^carece de fontes?]

Um exemplo de valoração está associado ao grau de um polinômio.[1] Seja K um corpo qualquer, e seja K(X) o corpo das funções racionais em K, ou seja, cada elemento de f de K(X) pode ser escrito (não de forma única) como:

${\displaystyle f={\frac {g}{h}}\,}$

em que g e h são polinômios em k[X]. Então, a função definida [Nota 1] como [Nota 2]

${\displaystyle v({\frac {g}{h}})={\mbox{grau}}(h)-{\mbox{grau}}(g),\ {\mbox{para}}\ g\neq 0\,}$

${\displaystyle v(0)=\infty \,}$

satisfaz às seguintes propriedades:

O único elemento f cuja valoração é infinita é o zero

v(x y) = v(x) + v(y)

v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Como outro exemplo, seja x um número racional não nulo, e defina-se v(x) como a maior potência de 2 (incluindo potências negativas) que podemos extrair, por divisão, de x, para que o resultado seja um número cujo denominador é ímpar. Por exemplo, v(14) = 1,[Nota 3] v(3) = 0 e v(13/12) = -2. Observa-se, igualmente, que esta função satisfaz:[2]

v(x y) = v(x) + v(y)

v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Definições

O que todos estes exemplos tem em comum é que temos, como conjunto sendo valorado, um conjunto em que existem operações de soma e produto e o elemento zero, e no conjunto destino uma operação binária e uma relação de ordem. Para que a definição faça sentido, é conveniente que o conjunto de partida tenha determinadas propriedades algébricas (como comutatividade da soma, e não haver divisores de zero), e que o conjunto de destino também tenha outras propriedades elementares (como associatividade da soma). Assim, é comum que a definição de uma valoração seja feita com domínio em conjuntos K que são corpos, ou quase isto (ou seja, um corpo não comutativo, que tem todas propriedades de um corpo exceto que a multiplicação não é comutativa, ou um domínio de integridade, em que a propriedade que falta é a existência do inverso multiplicativo). O contradomínio costuma ser um grupo ordenado, normalmente o conjunto dos números inteiros ou conjunto dos números reais, ao qual é adicionado o infinito.^[^carece de fontes?]

Mais especificamente, temos as seguintes definições:[3][2][1]

Uma valoração é uma função

${\displaystyle v:K\to G\cup \{\infty \}\,}$

satisfazendo as propriedades:[Nota 4]

${\displaystyle v(x)=\infty \iff x=0\,}$

${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)\,}$

${\displaystyle v(x+y)\geq \min(v(x),v(y))\,}$

em que:

K é um corpo,[2][1] um anel de divisão [3] ou um domínio de integridade

e

${\displaystyle G=\mathbb {Z} \,}$[2] ou ${\displaystyle G=\mathbb {R} \,}$[1] ou G é um grupo ordenado qualquer.[3]

No caso em que o contradomínio da valoração é o conjunto dos números inteiros (com a inclusão do infinito, para ${\displaystyle v(0)=\infty \,}$) a valoração é chamada de valoração discreta.[2]

Uma definição que gera resultados semelhantes é considerar o contradomínio da valoração não como um grupo aditivo, mas como um grupo multiplicativo, ou, mais especificamente, como o conjunto dos números reais positivos. Então, em vez de incluir o infinito, inclui-se o zero, sendo necessário ajustar as propriedades de v(0) e v(x + y), a primeira para que v(0) = 0, e a segunda considerando uma inversão da ordem. Uma valoração genérica teria, em vez da terceira propriedade, a desigualdade triangular, ou seja, v(x + y) ≤ v(x) + v(y); para evitar ambiguidade, define-se uma valoração não arquimediana.^[^carece de fontes?] Mais especificamente:

Uma valoração não arquimediana é uma função[4]

${\displaystyle v:K\to [0,\infty )\,}$

satisfazendo:

${\displaystyle v(x)=0\iff v=0\,}$

${\displaystyle v(xy)=v(x)v(y)\,}$

${\displaystyle v(x+y)\leq \max(v(x),v(y))\,}$

em que K é um corpo.

Notas e referências

Notas

1. A rigor, é preciso mostrar que esta definição está correta, ou seja, é preciso mostrar que se f for escrito de duas formas diferentes, por exemplo f = g₁ / h₁ = g₂ / h₂, então a fórmula para v(f) dará o mesmo resultado quando aplicada para g₁ / h₁ ou para g₂ / h₂
2. No texto de Cindy Tsang, há um erro tipográfico, e a função v é definida com o sinal trocado.
3. No texto de Ravi Vakil, há um erro tipográfico, e está escrito v(14) = 2.
4. No texto de A. H. Wadsworth, a função valoração é definida apenas para elementos que não são zero, então o contradomínio é um grupo ordenado, sem o infinito, não existe a propriedade de v(0), e a propriedade de v(x + y) só se aplica a valores de x, y e x+y quando nenhum deles é zero.

Referências

1. Cindy Tsang, Generalized Valuations [em linha]
2. Ravi Vakil, Introduction to Algebraic Geometry, Class 16 [em linha]
3. A. R. Wadsworth, Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras, p.5 [em linha]
4. Wim H. Schikhof, Banach Spaces over Non-Arquimedian Valued Fields, p.548 [em linha]