Grupo ordenado

Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

${\displaystyle \forall a,b,g\in G,(a\leq b\implies (ag\leq bg\land ga\leq gb))\,}$

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então ${\displaystyle a\leq b\,}$ implica que ${\displaystyle e\leq a^{-1}b\,}$ e ${\displaystyle e\leq ba^{-1}\,}$. Por outro lado, se ${\displaystyle e\leq a\,}$ e ${\displaystyle e\leq b\,}$, então ${\displaystyle a\leq ab\,}$ e, por transitividade, ${\displaystyle e\leq ab\,}$. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) ${\displaystyle G^{+}=\{x:e\leq x\}\,}$ é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle e\in H\,}$
• ${\displaystyle a\in H,b\in H\implies ab\in H\,}$
• ${\displaystyle a\in H,x\in G\implies x^{-1}ax\in H\,}$
• ${\displaystyle a\in H\land a^{-1}\in H\implies a=e\,}$

Então a relação definida por ${\displaystyle a\leq b\iff a^{-1}b\in H\,}$ é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.

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