Transformada de Hartley

A função cas(x) (linha vermelha) é o núcleo da transformada de Hartley. Sua derivada é a função cas'(x) (linha azul, tracejada).

Em matemática, a transformada de Hartley é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de (i) evitar a presença de números complexos no cálculo[nota 1] e (ii) ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por R. V. L. Hartley em 1942[1] para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell[2] (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). A versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley, foi introduzida por Bracewell em 1983.[3]

A transformada de Hartley em duas dimensões pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a transformada óptica de Fourier, com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa.[4]

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a série de Hartley, que funciona de forma similar à série de Fourier.[5]

Definição

A transformada de Hartley de uma função f(t) é definida por:

${\displaystyle H(\omega )\;=\;{\mathcal {H}}\{f(t)\}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot {\mbox{cas}}(\omega t)\;dt\;\;\;\;\;(1a)}$

onde ω, em aplicações físicas, é a frequência angular e t é o tempo. A função cas (ing. cosine and sine)

${\displaystyle {\mbox{cas}}(t)\;=\;\cos(t)\;+\;\sin(t)\;=\;{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(t\;+\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;=\;{\sqrt {2}}\cdot \cos \left(t\;-\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;\;\;\;\;(1b)}$[1][5]

é o chamado núcleo de Hartley. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um sinal, representado por uma função f de valores reais, do domínio do tempo para o domínio espectral de Hartley, que é o domínio da frequência real.

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas transformadas de seno e de cosseno.[1][6]

Transformada inversa

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma involução):

${\displaystyle f\;=\;\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}\;\;\;\;\;(1c)}$[1][nota 2]

Convenções

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:

• Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$ da fórmula da transformada e usar 1/2π na inversa — ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
• Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a frequência simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$ é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção[1][2].
• Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo.^[^carece de fontes?].

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\;dt}$

${\displaystyle f(t)\;=\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}(\omega )e^{i\omega t}\;d\omega }$

É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.

Relação com a transformada de Fourier

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica ${\displaystyle F(\omega )\;=\;{\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )}$ na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial ${\displaystyle e^{-i\omega t}\;=\;\cos(\omega t)\;-\;i\sin(\omega t)}$, onde i é a unidade imaginária.

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:

${\displaystyle F(\omega )\;=\;{\frac {H(\omega )\;+\;H(-\omega )}{2}}\;-\;i\cdot {\frac {H(\omega )\;-\;H(-\omega )}{2}}\;=\;H_{par}(\omega )\;-\;i\cdot H_{impar}(\omega )\;\;\;\;\;(2a)}$

Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes pares e ímpares da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}\;=\;\Re \{{\mathcal {F}}f\}\;-\;\Im \{{\mathcal {F}}f\}\;=\;\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1\;+\;i)\}\;\;\;\;\;(2b)}$

onde ${\displaystyle \Re }$ e ${\displaystyle \Im }$ denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier.[1][7]

A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da transformada real de Fourier R(ω) por meio da fórmula abaixo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H(\omega )\\H(-\omega )\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&&1\\1&&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{p}(\omega )\\R_{i}(\omega )\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;(2c)}$

onde R_p(ω) e R_i(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω).[8]

Relações similares existem com a transformada real de Mellin M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H(\omega )\\H(-\omega )\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&&1\\1&&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}M_{p}(\sigma ,\omega )\\M_{i}(\sigma ,\omega )\end{bmatrix}}\;\;\;\;\;(2d)}$

onde M_p(σ,ω) e M_i(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω).[9]

Condições de existência

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as condições de Dirichlet:

• f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞]
• f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo
• f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞

Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley.[10]

Interpretação da transformada de Hartley

A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe simetria hermitiana, ou seja F(-ω) = F^*(ω), onde F^*(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real.[11]

Propriedades

Linearidade

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um operador linear e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um operador unitário (na verdade, ortogonal).

Teorema da convolução

Existe também um análogo ao teorema da convolução para a transformada de Hartley. Se duas funções ${\displaystyle x(t)}$ e ${\displaystyle y(t)}$ têm transformadas de Hartley ${\displaystyle X(\omega )}$ e ${\displaystyle Y(\omega )}$, respectivamente, então sua convolução ${\displaystyle z(t)=x*y}$ tem a transformada de Hartley

${\displaystyle Z(\omega )\;=\;\{{\mathcal {H}}(x\;*\;y)\}\;=\;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \left[{\frac {}{}}X(\omega )Y_{p}(\omega )\;+\;X(-\omega )Y_{i}(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3a)}$

onde Y_p e Y_i são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).

A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para

${\displaystyle Z(\omega )\;=\;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \left[{\frac {}{}}X(\omega )Y(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3b)}$

que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier.[1]

Paridade

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar.[1]

Espectro de potência e fase

A densidade espectral P e a fase φ da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões

${\displaystyle P(\omega )\;=\;|F(\omega )|^{2}\;=\;\left[\Re \{F(\omega )\}^{2}\;+\;\Im \{F(\omega )\}^{2}\right]}$

${\displaystyle \phi (\omega )\;=\;\arctan \left({\frac {\Im \{F(\omega )\}}{\Re \{F(\omega )\}}}\right)}$

a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em

${\displaystyle P(\omega )\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}\left(H(\omega )\right)^{2}\;+\;\left(H(-\omega )\right)^{2}\right]\;\;\;\;\;(3c)}$

${\displaystyle \phi (\omega )\;=\;\arctan \left({\frac {H(-\omega )\;-\;H(\omega )}{H(-\omega )\;+\;H(\omega )}}\right)\;\;\;\;\;(3d)}$

Observe-se que P(ω) será sempre uma função par.[12][nota 3]

Escalamento e deslocamento do eixo

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(ax)\}\;=\;{\frac {1}{|a|}}H\left({\frac {\omega }{a}}\right)\;\;\;\;\;(3e)}$

e

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(x\;+\;b)\}\;=\;H(\omega )\cdot \cos(\omega b)\;+\;H(-\omega )\cdot \sin(\omega b)\;\;\;\;\;(3f)}$

Em particular, se a = -1, então ${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(-x)\}\;=\;H(-\omega )}$[13].

Modulação

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω₀·x), então

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(x)\cdot g(x)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}H(\omega \;+\;\omega _{0})\;+\;H(\omega \;-\;\omega _{0})\right]\;\;\;\;\;(3g)}$[13]

Derivadas

Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f^{n}(x)\}\;=\;{\mbox{cas'}}\left({\frac {n\pi }{2}}\right)\cdot \omega ^{n}\cdot H\left((-1)^{n}\cdot \omega \right)\;\;\;\;\;(3h)}$

onde cas' é a função cas complementar (ver abaixo).[14]

Tabela de Transformadas de Hartley

A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver acima), as duas opções foram contempladas.

Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)[15]

${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle H(\omega )}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (\omega )}$
${\displaystyle e^{iat}}$	${\displaystyle \delta (\omega \;-\;a)}$
${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \delta (t\;-\;a)}$	${\displaystyle \cos(a\omega )\;-\;\sin(a\omega )}$
${\displaystyle u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\delta (\omega )}{2}}\;+\;{\frac {\cos(a\omega )\;-\;\sin(a\omega }{\omega }}}$
${\displaystyle u(t\;-\;a)}$	${\displaystyle {\frac {\delta (\omega )}{2}}\;+\;{\frac {1}{\omega }}}$
${\displaystyle t\cdot u(t)}$[nota 4]	${\displaystyle -{\frac {\delta '(\omega )}{4\pi }}\;-\;{\frac {1}{\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\frac {2}{\omega }}}$
${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]}$
${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;-\;\delta (\omega \;+\;a)\right]}$
${\displaystyle rect(t)}$	${\displaystyle sinc(\omega )}$
${\displaystyle tri(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\;sinc^{2}\left({\frac {\omega }{\pi }}\right)}$
${\displaystyle e^{-at}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {a\;+\;\omega }{a^{2}\;+\;\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle e^{-a^{2}t^{2}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{a}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle e^{-a|t|}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}\;+\;\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}\cdot \cos(bt)}$	${\displaystyle {\frac {(a\;-\;\omega )(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})\;+\;2a\omega (a\;+\;\omega )}{(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})^{2}\;+\;4a^{2}\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}\cdot \sin(bt)}$	${\displaystyle {\frac {b(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2}\;+\;2a\omega )}{(a^{2}\;+\;b^{2}\;-\;\omega ^{2})^{2}\;+\;4a^{2}\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle rect(t)\cdot \cos(bt)}$	${\displaystyle {\frac {\sin \left({\frac {\omega -b}{2}}\right)}{\omega \;-\;b}}\;+\;{\frac {\sin \left({\frac {\omega \;+\;b}{2}}\right)}{\omega \;+\;b}}}$
${\displaystyle \cos(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi \omega }{\omega ^{2}\;-\;a^{2}}}\;+\;{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]}$
${\displaystyle \sin(at)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{\frac {2\pi a}{\omega ^{2}\;-\;a^{2}}}\;+\;{\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {}{}}\delta (\omega \;-\;a)\;+\;\delta (\omega \;+\;a)\right]}$
onde: ${\displaystyle \delta (t)\,}$ é a função impulso unitário ${\displaystyle \delta '(t)\,}$ é a derivada do impulso unitário ${\displaystyle u(t)\,}$ é a função degrau unitário ${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)\,}$ é a função sinal ${\displaystyle rect(t)\,}$ é a função retangular ${\displaystyle sinc(t)\,}$ é a função seno cardinal ${\displaystyle tri(t)\,}$ é a função triangular

Função cas

As propriedades da função cas seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da trigonometria.

Adição de ângulos

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a\;+\;b)\;=\;{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)\;+\;{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)\;+\;{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)\;-\;{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)\;\;\;\;\;(4a)}$

ou

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a\;+\;b)\;=\;\cos(a){\mbox{cas}}(b)\;+\;\sin(a){\mbox{cas}}(-b)\;=\;\cos(b){\mbox{cas}}(a)\;+\;\sin(b){\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4b)}$

No caso particular:

${\displaystyle {\mbox{cas}}(2a)\;=\;{\mbox{cas}}^{2}(a)\;+\;{\mbox{cas}}^{2}(-a)\;\;\;\;\;(4c)}$

Derivada e anti-derivada

${\displaystyle {\mbox{cas}}'(a)\;=\;{\frac {d}{da}}{\mbox{cas}}(a)\;=\;\cos(a)-\sin(a)\;=\;{\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4d)}$

esta função é conhecida como cas complementar.[5]

${\displaystyle {\mbox{cas}}'(a)\;=\;{\sqrt {2}}\sin \left(a\;+\;{\frac {3\pi }{4}}\right)\;=\;{\sqrt {2}}\cos \left(a\;+\;{\frac {\pi }{4}}\right)\;\;\;\;\;(4e)}$

${\displaystyle \int _{0}^{a}{\mbox{cas}}'(x)\;dx\;=\;-\;{\mbox{cas}}'(a)\;=\;-\;{\mbox{cas}}(-a)\;\;\;\;\;(4f)}$

Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x)

${\displaystyle \cos(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}{\mbox{cas}}(a)\;+\;{\mbox{cas}}(-a)\right]\;\;\;\;\;(4g)}$

${\displaystyle \sin(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}{\mbox{cas}}(a)\;-\;{\mbox{cas}}(-a)\right]\;\;\;\;\;(4h)}$

Relação com a função exponencial

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}(1\;+\;i)e^{-ia}\;+\;(1\;-\;i)e^{ia}\right]\;\;\;\;\;(4i)}$

Produtos

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)\;=\;\cos(a\;-\;b)\;+\;\sin(a\;+\;b)\;\;\;\;\;(4j)}$

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a)\;+\;{\mbox{cas}}(b)\;=\;2\;{\mbox{cas}}\left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\;\;\;\;\;(4k)}$

${\displaystyle {\mbox{cas}}(a)\;-\;{\mbox{cas}}(b)\;=\;2\;{\mbox{cas}}\left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a\;-\;b}{2}}\right)\;\;\;\;\;(4l)}$[16]

Série de Hartley

A série de Hartley é uma expansão em série infinita de uma função periódica f(t), na forma

${\displaystyle f(t)\;=\;\sum _{k\;=\;-\infty }^{\infty }a_{k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2k\pi t}{\tau }}\right)\;\;\;\;\;(5a)}$

onde τ é o período de f(t) e os coeficientes a_k são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a base ortogonal sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.

A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático ε^2 na representação da função f(t) por meio da série finita

${\displaystyle {\hat {f}}(t)\;=\;\sum _{k\;=\;-K}^{K}a_{k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2k\pi t}{\tau }}\right)\quad |\;k\in {\mathcal {N}}\;\;\;\;\;(5b)}$

definido por

${\displaystyle \epsilon ^{2}\{f(t),{\hat {f}}(t)\}\;=\;(f(t)-{\hat {f}}(t))^{2}\;\;\;\;\;(5c)}$

é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de K.[nota 5][nota 6] Em outras palavras, os coeficientes a_k fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.

Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear ε, definido como

${\displaystyle \epsilon \{f(t),{\hat {f}}(t)\}\;=\;f(t)-{\hat {f}}(t)\;\;\;\;\;(5d)}$

pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente).[nota 7] Essa propriedade decorre da equação de Parseval

${\displaystyle \sum _{k\;=\;1}^{\infty }a_{k}^{2}\;=\;(f(t))^{2}\;\;\;\;\;(5e)}$[17]

Os coeficientes a_k na equação (5a) são dados pela fórmula

${\displaystyle a_{k}\;=\;{\frac {1}{\tau }}\int _{\tau }f(t)\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi kt}{\tau }}\right)\;d\tau \;\;\;\;\;(5f)}$[18]

Outras propriedades da série de Hartley

Reversão no tempo

Se g(t) = f(-t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão ${\displaystyle b_{j}\;=\;a_{-j}}$ para qualquer j.

Paridade

Se f(t) for uma função par, então ${\displaystyle a_{j}\;=\;a_{-j}}$ para qualquer j. Se f(t) for uma função ímpar, ${\displaystyle a_{j}\;=\;-a_{-j}}$ para qualquer j.[nota 8] Se f(t) for uma função com anti-simetria de meia-onda, ou seja, ${\displaystyle f(t)\;=\;-\;f\left(t\;+\;{\frac {\tau }{2}}\right)}$, então a_j = 0 para j par.

Derivada e anti-derivada

Se denotarmos por g(t) a derivada de f(t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão ${\displaystyle b_{j}\;=\;-{\frac {a_{-j}\cdot j}{\tau }}}$ para qualquer j.

Se denotarmos por g(t) a anti-derivada de f(t), os coeficientes b_k da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a_k da série de Hartley de f(t) pela expressão ${\displaystyle b_{j}\;=\;{\frac {a_{-j}\cdot \tau }{j}}}$ para qualquer j.[19]

A Transformada Discreta de Hartley

(ver o artigo principal Transformada discreta de Hartley)

A transformada de Hartley é definida em um espaço euclideano contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

${\displaystyle a_{k}\;=\;{\frac {1}{n}}\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}f(j)\cdot cas\left({\frac {2\pi j}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6a)}$

onde τ é tamanho do período amostrado. A expressão (6a) é muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A sequência original é recuperada pela aplicação da transformada inversa, ou seja, os valores f_k de f são obtidos a partir dos coeficientes a_k pela fórmula:

${\displaystyle f_{k}\;=\;\sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{k}\cdot cas\left({\frac {2\pi j}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6b)}$

Perceba-se que a simetria entre a transformada e a inversa é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$ e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell(2000).

Como a DHT recebe como entrada uma sequência finita de n valores, pressupõe-se que a função sob análise f(t), de onde se originou a sequência f(k), seja periódica, com período igual ou inferior a τ.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de erro de truncamento e serrilhamento (ing. aliasing). Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A propriedade do valor inicial possui a forma seguinte:

${\displaystyle \sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{j}\;=\;f(0)\;\;\;\;\;(6c)}$

${\displaystyle \sum _{j\;=\;0}^{n\;-\;1}f_{j}\;=\;n\cdot a_{0}\;\;\;\;\;(6d)}$

onde a_k são os valores da sequência DHT{f(k)} e f_k são os valores da sequência f(k).

A propriedade do deslocamento do eixo, correspondente às equações (3e) e (3f) para a versão contínua, deve ser escrita da forma seguinte:

${\displaystyle b_{k}\;=\;a_{k}\cdot cos\left({\frac {2\pi m}{n\tau }}\right)\;-\;a_{-k}\cdot sin\left({\frac {2\pi m}{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6e)}$

onde b_k são os valores da sequência DHT{f(k + m)}, e m é um inteiro entre 0 e n. Na expressão (6e), como se trata de uma convolução cíclica, valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado, isto é, um valor na faixa [0,n].

A propriedade da primeira diferença é expressa da forma seguinte:

${\displaystyle b_{k}\;=\;a_{k}\cdot \left[cos\left({\frac {2\pi }{n\tau }}\right)\;-\;1\right]\;-\;a_{\left(n\;-\;{\frac {1}{\tau }}\right)}\cdot sin\left({\frac {2\pi }{n\tau }}\right)\;\;\;\;\;(6f)}$

onde b_k são os valores da sequência DHT{f(k + 1) - f(k)}.

O teorema de Parseval deve ser escrito da forma seguinte:

${\displaystyle \sum _{j\;=0}^{n\;-\;1}[f(j)]^{2}\;=\;n\cdot a_{k}\cdot \sum _{j\;=0}^{n\;-\;1}[a_{k})]^{2}\;\;\;\;\;(6g)}$[1]

Cálculo da DHT

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês Fast Hartley Transform). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (Fast Fourier Transform) e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos, além da computação de convoluções discretas.[1]

Transformada de Hartley em duas dimensões

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões, ou seja, a transformada de Hartley de uma função f(x,y) de duas variáveis reais independentes. Da mesma forma que no caso unidimensional, existem as versões contínua e discreta da transformada bidimensional.

Transformada bidimensional de Hartley

Essa transformada é definida pela equação

${\displaystyle H(\omega ,\xi )\;=\;{\mathcal {H}}_{2}\{f(x,y)\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot {\mbox{cas}}(\omega x\;+\;\xi y)\;dx\;dy\;\;\;\;\;(7a)}$

e a inversa por

${\displaystyle f(x,y)\;=\;{\mathcal {H}}_{2}^{-1}\{H(\omega ,\xi )\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }H(\omega ,\xi )\cdot {\mbox{cas}}(\omega x\;+\;\xi y)\;d\omega \;d\xi \;\;\;\;\;(7b)}$

Existe uma definição similar para a transformada em três dimensões.[14]

Uma variante da transformada bidimensional de Hartley é a transformada CasCas, que utiliza como núcleo a função ${\displaystyle {\mbox{cas}}(\omega x)\cdot {\mbox{cas}}(\xi y)}$. Essa possibilidade de optar entre dois núcleos também existe para a transformada bidimensional de Fourier, e representa as duas maneiras diferentes de se esquadrinhar um plano.[1]

Transformada discreta bidimensional de Hartley

Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões dada por outra matriz m x n, que é a transformada discreta bidimensional de Hilbert (DHT₂). Os coeficientes a_j,k de tal matriz são valores reais, obtidos dos coeficientes f(j,k) pela fórmula

${\displaystyle a_{j,k}\;=\;{\frac {1}{mn}}\;\sum _{i\;=\;0}^{m\;-\;1}\;\;\ \sum _{l\;=\;0}^{n\;-\;1}f(j,k)\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi i}{m\tau _{m}}}\;+\;{\frac {2\pi l}{n\tau _{n}}}\right)\;\;\;\;\;(7c)}$

onde τ_m e τ_n são o tamanho do intervalo amostrado em cada dimensão. A transformada inversa, aplicada à matriz DHT₂, resulta na matriz original f; os coeficientes de f são obtidos dos coeficientes a_j,k pela fórmula

${\displaystyle f(j,k)\;=\;{\frac {1}{mn}}\;\sum _{i\;=\;0}^{m\;-\;1}\;\;\ \sum _{l\;=\;0}^{n\;-\;1}a_{j,k}\cdot {\mbox{cas}}\left({\frac {2\pi i}{m\tau _{m}}}\;+\;{\frac {2\pi l}{n\tau _{n}}}\right)\;\;\;\;\;(7d)}$

Existem definições similares para transformadas em mais dimensões.[1]

Notas

1. Quando aplicada a uma função de valores reais, o que geralmente é o caso.
2. Essa expressão é válida apenas quando se emprega a definição (1a) para a transformada ou substitui-se ω por 2πν. Em outros casos, podem aparecer fatores de escalamento (ver o item Convenções).
3. Uma das desvantagens da transformada de Hartley, em relação à transformada de Fourier, é justamente que a variação do ângulo de fase com a frequência não é tão clara.
4. Conhecida como função rampa unitária.
5. Essa propriedade é conhecida como a propriedade da finitude dos coeficientes.
6. A prova é conhecida como o Lema de Riemann-Lebesgue.
7. Essa propriedade é conhecida como da completude dos coeficientes.
8. E, por conseguinte, a₀ = 0.

Referências adicionais

• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems, Proc. IRE 30, 144–150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986)
• Bracewell, R. N., Aspects of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
• Millane, R. P., Analytic properties of the Hartley transform, Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).

Ligações externas

• Ralph Vinton Lyon Hartley
• The Hartley Transform, em Wolfram Mathworld

Referências

1. Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 12, pp. 293-328,ISBN 978-0-1381-4757-0
2. K. Olejniczak - The Hartley Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 342 a 343
3. Bracewell, R. - Discrete Hartley transform, in Journal of the Optical Society of America, vol. 73, issue 12, disponível em https://www.opticsinfobase.org/josa/abstract.cfm?uri=josa-73-12-1832, acessado em 29/11/2013
4. Villasenor, J. - Optical Hartley transforms, Proc. IEEE 82 (3), 1994, pp. 391-399, disponível em http://dx.doi.org/10.1109/5.272144
5. A. Poularikas (org) - Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing, Cap. 14, disponível em http://dsp-book.narod.ru/HFTSP/8579ch14.pdf, acessado em 03/10/2012
6. K. Olejniczak - op. cit., pag. 347
7. K. Olejniczak - op. cit., pp. 349 a 350
8. K. Olejniczak - op. cit., pág. 352
9. K. Olejniczak - op. cit., pág. 353
10. K. Olejniczak - op. cit., pp. 346 e 349
11. K. Olejniczak - op. cit., pp. 348 a 349
12. K. Olejniczak - op. cit., pp. 354 a 355
13. K. Olejniczak - op. cit., pag. 355
14. K. Olejniczak - op. cit., pág. 357
15. K. Olejniczak - op. cit., pp. 386 a 396
16. K. Olejniczak - op. cit., pag. 344
17. K. Olejniczak - op. cit., pp. 358 a 362
18. K. Olejniczak - op. cit., pag. 365
19. K. Olejniczak - op. cit., pp. 366 a 367