Multiplicadores de Lagrange

Figura 1: Encontrar ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ que maximizem ${\displaystyle f(x,y)}$ sujeito a uma condição (a vermelho) ${\displaystyle g(x,y)=c.}$

Figura 2: Curva de nível da Figura 1. A linha a vermelho indica a restrição ${\displaystyle g(x,y)=c.}$ As linhas azuis são os contornos de ${\displaystyle f(x,y).}$ A solução ocorre no ponto em que as linhas vermelha e azul se tocam tangencialmente.[1]

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.[2]

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização

maximize ${\displaystyle f(x,y),}$ ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função

sujeito a ${\displaystyle g(x,y)=c.}$

O método consiste em introduzir uma variável nova (${\displaystyle \lambda ,}$ normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:

${\displaystyle \Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot {\Big (}g(x,y)-c{\Big )},}$

Nesta função, o termo ${\displaystyle \lambda }$ pode ser adicionado ou subtraído. Se ${\displaystyle f(x,y)}$ é um ponto de máximo para o problema original, então existe um ${\displaystyle \lambda }$ tal que ${\displaystyle (x,y,\lambda )}$ é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de ${\displaystyle \Lambda }$ são iguais a zero.

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.[3][4][5][6][7]

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

Definição

Considere uma função de ${\displaystyle n}$ variáveis ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad }$e ${\displaystyle m}$ funções de restrição ${\displaystyle g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad ...\quad g_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum ${\displaystyle i}$ para o qual ${\displaystyle \nabla g_{i}(x)\neq 0}$, se ${\displaystyle f}$ tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto ${\displaystyle P(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*}),}$ tal que ${\displaystyle P}$ pertença a uma superfície de restrição de ${\displaystyle f}$ na qual a seguinte condição seja satisfeita:

${\displaystyle \nabla f(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})}$[1]

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \,\lambda _{m})}$ são os multiplicadores de Lagrange.

A solução recai em resolver um sistema com ${\displaystyle n+m}$ equações (as ${\displaystyle n}$ equações obtidas pela diferenciação, e as ${\displaystyle m}$ restrições ${\displaystyle g_{i}}$) e ${\displaystyle n+m}$ incógnitas (a coordenada de ${\displaystyle P}$ no espaço de ${\displaystyle n}$ dimensões e os ${\displaystyle m}$ multiplicadores de Lagrange).

Utilização

O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

Exemplo

A função potencial gravitacional em relação a um corpo celeste: ${\displaystyle P(x,y,z)={\frac {-GM}{r}}}$ , onde ${\displaystyle r=[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}]^{\frac {1}{2}}}$ e ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i})}$ são as coordenadas do centro do corpo celeste.

O problema é: a uma dada distância da Terra e da Lua, ou seja, fixando-se os potenciais gravitacionais relativos a esses 2 corpos, deseja-se saber qual o ponto em que a energia potencial gravitacional gerada pela massa do Sol é máxima (ou mínima).

A figura abaixo mostra a situação, onde os centros dos 3 corpos estão no plano da tela, As superfícies esféricas equipotenciais da Terra e da Lua aparecem como círculos no plano da tela. Sua intercessão é um círculo num plano normal à tela, que a cruza nos pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$. Esses pontos são a solução do problema, pois um é o mais próximo e o outro é o mais distante do Sol, entre todo o conjunto de pontos desse círculo de intercessão das superfícies.

Qual a relação com os multiplicadores de Lagrange? Basta lembrar que a aceleração da gravidade é o gradiente do potencial gravitacional, e ela aponta para os centros dos corpos. Em geral, ao longo do círculo normal à tela, de intercessão entre as superfícies potenciais da Terra e Lua, esses vetores dirigidos respectivamente para o centro do Sol, da Terra e da Lua são linearmente independentes. Mas nos pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ eles estão no mesmo plano, e um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Portanto pode-se escrever: ${\displaystyle a_{s}=\lambda _{1}a_{t}+\lambda _{2}a_{l}}$ ou

                     ${\displaystyle \nabla P_{s}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{2}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x,y,z)}$

onde: ${\displaystyle g_{1}=P_{t}(x,y,z)-C_{1}}$ e ${\displaystyle g_{2}=P_{l}(x,y,z)-C_{2}}$

${\displaystyle P_{s}(x,y,z)}$ é o potencial gravitacional do Sol, ${\displaystyle P_{t}(x,y,z)}$ é o da Terra e ${\displaystyle P_{l}(z,y,z)}$ é o da Lua. Como a restrição são as superfícies equipotenciais, as funções ${\displaystyle g_{i}}$ são zero para os pontos em que os potenciais são ${\displaystyle C_{1}}$ e ${\displaystyle C_{2}}$ respectivamente.[8]

Ver também

• Gradiente

Referências

1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016 
2. Lagrange Multipliers without Permanent Scarring, por Dan Klein, tutorial hospedado no site da Computer Science Division da Universidade da Califórnia em Berkeley
3. Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming Second ed. Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0 
4. Vapnyarskii, I.B. (2001), «Lagrange multipliers», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer .
5. • Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Col: Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. pp. xi+523. MR 337317 
   • Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems reprint of the 1970 Macmillan ed. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. pp. xiii+523. MR 1888251 
6. Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). «XII Abstract duality for practitioners». Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Col: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. pp. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2  Texto "" ignorado (ajuda)
7. Lemaréchal, Claude (2001). «Lagrangian relaxation». In: Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Col: Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. pp. 112–156. ISBN 3-540-42877-1. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. .doi:10.1007/3-540-45586-8_4 
8. www.saspinski.com/matematica/LagrangeExemplo.pdf

Ligações externas

• http://fma.if.usp.br/~fleming/lagrange/node4.html  Em falta ou vazio |título= (ajuda)
• Texto sobre multiplicadores de lagrange com exemplos como encontrar ${\displaystyle \lambda :}$

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