Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.
Definição formal
Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo uma operação qualquer:
é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
fechamento: dado o elemento resultante da composição de e pertence a ();
associatividade: para todos vale ;
existência do elemento neutro: existe um único tal que para todo vale .