Método das diferenças finitas

O método das diferenças finitas (MDF) é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada.[1] Hoje, os MDFs são a abordagem dominante das soluções numéricas de equações diferenciais parciais.[2]

O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor para as seguintes funções:

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {f''(x)h^{2}}{2}}+{\frac {f'''(x)h^{3}}{6}}+o(h^{4})\,}$

${\displaystyle f(x-h)=f(x)-f'(x)h+{\frac {f''(x)h^{2}}{2}}-{\frac {f'''(x)h^{3}}{6}}+o(h^{4})}$

Portanto, a derivada primeira pode ser escrita de três formas distintas como uma diferença-quociente mais um termo de erro, obtido ao desprezar-se termos de ordem superior :

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+o(h)}$ , que é conhecida como fórmula das diferenças progressivas, ou

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}+o(h)}$ , que é conhecida como fórmula das diferenças regressivas, ou ainda

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+o(h^{2})}$ , que é conhecida como fórmula das diferenças centradas.

Além disso, é possível obter derivadas de ordem superior. A derivada de segunda ordem é obtida a partir de

${\displaystyle f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f''(x)h^{2}+o(h^{4})}$

e é dada por ${\displaystyle f''(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}+o(h^{2})}$

Método das diferenças finitas para problemas lineares

A partir das aproximações por diferença-quociente para derivadas de qualquer ordem, é possível transformar equações diferenciais em problemas lineares. Para isso, é necessário ignorar o termo de erro e tornar ${\displaystyle h}$ um número muito pequeno, mas grande o suficiente para que não cause instabilidades nas aproximações das derivadas.

Resolução de problemas de contorno

Para uma equação diferencial do tipo ${\displaystyle y''(x)=f(x)y'(x)+g(x)y(x)+z(x)}$, onde ${\displaystyle x}$ varia de ${\displaystyle a}$ até ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle y(a)=\alpha }$ e ${\displaystyle y(b)=\beta }$.

A equação é aproximada pelo método das diferenças finitas, com um erro de truncamento igual a ${\displaystyle o(h^{2})}$, substituindo-se as derivadas pelas suas representações numéricas, que são dadas por:

${\displaystyle y'(x)={\frac {y(x+h)-y(x-h)}{2h}}}$

${\displaystyle y''(x)={\frac {y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^{2}}}}$

Como é possível perceber, necessita-se definir um valor para ${\displaystyle h}$. Este valor pode ser definido pela divisão do intervalo em que se está interessado para a resolução do problema em ${\displaystyle N}$ intervalos menores. Assim, o valor de ${\displaystyle h}$ é dado por: ${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$.

As extremidades destes subintervalos são dadas por ${\displaystyle x(i)=a+(i-1)h}$, para ${\displaystyle i=1,2,...,N}$.

Para a resolução do problema, a equação é escrita na forma ${\displaystyle y''(x)-f(x)y'(x)-g(x)y(x)=z(x)}$, que após a substituição das derivadas, torna-se:

${\displaystyle {\frac {y(x(i)+h)-2y(x(i))+y(x(i)-h)}{h^{2}}}-f(x(i))\left[{\frac {y(x(i)+h)-y(x(i)-h)}{2h}}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))}$ , para ${\displaystyle i=2,3,...,N}$.

Como ${\displaystyle x(i+1)=x(i)+h}$ e ${\displaystyle x(i-1)=x(i)-h}$, aquela equação pode ser reescrita como

${\displaystyle {\frac {y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^{2}}}-f(x(i))\left[{\frac {y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}}\right]-g(x(i))y(x(i))=z(x(i))}$.

Isolando os termos ${\displaystyle y(x(i+1))}$, ${\displaystyle y(x(i))}$ e ${\displaystyle y(x(i-1))}$ na fórmula acima, obtêm-se

${\displaystyle y(x(i-1))\left[{\frac {1}{h^{2}}}+{\frac {f(x(i))}{2h}}\right]+y(x(i))\left[{\frac {-2}{h^{2}}}-g(x(i))\right]+y(x(i+1))\left[{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {f(x(i))}{2h}}\right]=z(x(i))}$

A partir desta equação é possível resolver o sistema linear a partir de uma matriz ${\displaystyle A}$ de coeficientes que multiplica os valores de ${\displaystyle y}$, sendo que a solução deste sistema é dada por ${\displaystyle B}$. Esse sistema linear é representado a seguir.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{\frac {1}{h^{2}}}+{\frac {f(x(2))}{2h}}&{\frac {-2}{h}}-g(x(2))&{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {f(x(2))}{2h}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &0\\0&\ddots &\ddots &\ddots &{\frac {1}{h^{2}}}+{\frac {f(x(N-1))}{2h}}&{\frac {-2}{h}}-g(x(N))&{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {f(x(N+1))}{2h}}\\0&0&\cdots &\cdots &0&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}\alpha \\z(x(2))\\z(x(3))\\\vdots \\\beta \end{bmatrix}}}$

Onde a aproximação para ${\displaystyle y}$ é dada pelos pontos que são solução do sistema ${\displaystyle Ay=B}$.

Resolução de problemas de valor inicial e o método de Euler

A partir do método das diferenças finitas também é possível obter o método de Euler, que é usado para obter soluções de problemas de valor inicial bem-posto. Leonhard Euler (1707 - 1783) foi o primeiro matemático de sua época a apresentar o uso do método de diferenças finitas para encontrar aproximações de soluções de equações diferenciais. Entretanto, o método de Euler não é usado na prática, pois possui pouca precisão. Alternativamente a este, são utilizados com maior frequência o método de Euler modificado ou o método de Runge-Kutta para solução de problemas de valor inicial.

Para um dado problema de valor inicial bem posto

${\displaystyle y'(t)=f(t,y)}$, ${\displaystyle a}$ ≤ ${\displaystyle t}$ ≤ ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle y(a)=\alpha }$ .

Divide-se o intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ em ${\displaystyle N}$ subintervalos e define-se que ${\displaystyle t(i)=a+(i-1)h}$, para ${\displaystyle i=1,2,...,N}$. Onde ${\displaystyle h}$ é o espaçamento da malha.

A partir disto, temos que ${\displaystyle h={\frac {(b-a)}{N}}=t(i+1)-t(i)}$, para ${\displaystyle i=1,2,...,N}$.

Aproximando a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, desprezando-se o termo de erro, temos

${\displaystyle {\frac {y(t(i+1))-y(t(i))}{h}}=f(t(i),y(i))}$

${\displaystyle y(t(i+1))=y(t(i))+hf(t(i),y(i))}$, que é usada para ${\displaystyle i=1,2,3,...,N.}$

A equação acima é conhecida como equação de diferença associada ao método de Euler.

O sistema linear é inicializado com ${\displaystyle y(1)=\alpha }$ e é de fácil solução.

Método das diferenças finitas para problemas não lineares

O método das diferenças finitas é análogo ao utilizado para problemas lineares. Entretanto, é utilizado um processo iterativo para a obtenção da solução do problema, que não é linear.

Resolução de problemas de contorno não-lineares

Para um problema de contorno não-linear geral, dado por ${\displaystyle y''=f(x,y,y')}$ com ${\displaystyle x}$ variando de ${\displaystyle a}$ até ${\displaystyle b}$, e sendo as condições de contorno ${\displaystyle y(a)=\alpha }$ e ${\displaystyle y(b)=\beta }$,

há garantia de solução única se as seguintes condições forem satisfeitas.

• ${\displaystyle f}$ e suas derivadas parciais em relação a ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ são contínuas em ${\displaystyle D=}$ { ${\displaystyle (x,y,y')|a}$ ≤ ${\displaystyle x}$ ≤ ${\displaystyle b,}$ - ${\displaystyle \infty }$ < ${\displaystyle y}$ < ${\displaystyle \infty }$, - ${\displaystyle \infty }$ < ${\displaystyle y'}$ < ${\displaystyle \infty }$ };
• ${\displaystyle f(x,y,y')}$ > ${\displaystyle \delta }$, para um certo ${\displaystyle \delta }$ > ${\displaystyle 0}$ ;
• Existem constantes ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ tais que: ${\displaystyle P}$ é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de ${\displaystyle f}$ em relação a ${\displaystyle y}$ atinge em ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle Q}$ é o valor máximo que o módulo da derivada parcial de ${\displaystyle f}$ em relação a ${\displaystyle y'}$ atinge em ${\displaystyle D}$.

Como no caso anterior, a aproximação para a equação é obtida quando os termos de erro são desprezados.

Assim, ${\displaystyle y''=f(x,y,y')}$ torna-se ${\displaystyle {\frac {y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^{2}}}=f(x,y,{\frac {y(x+h)-y(x-h)}{2h}})}$, que com a mesma divisão em intervalos anterior, é dada por ${\displaystyle {\frac {y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^{2}}}=f(x(i),y(i),{\frac {y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}})}$, para ${\displaystyle i=2,3,...,N}$.

As condições de contorno são ${\displaystyle y(1)=\alpha }$ e ${\displaystyle y(N+1)=\beta }$.

A partir da equação ${\displaystyle -{\frac {y(x(i+1))-2y(x(i))+y(x(i-1))}{h^{2}}}+f(x(i),y(i),{\frac {y(x(i+1))-y(x(i-1))}{2h}})=0}$, para ${\displaystyle i=2,3,...,N}$ e das condições de contorno, obtemos um sistema não linear que pode ser resolvido via Método de Newton para sistemas não-lineares. Sendo que o sistema terá solução única se ${\displaystyle h}$ < ${\displaystyle 2/Q}$. Se a aproximação inicial utilizada no método de Newton for suficientemente próxima da solução e se a matriz Jacobiana do sistema for não-singular, o sistema converge para a solução exata.

Referências

1. Richard L. Burden; J. Douglas Faires. Análise Numérica, Editora CENGAGE Learning, 8° edição. [S.l.: s.n.]  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
2. Christian Grossmann; Hans-G. Roos; Martin Stynes (2007). Numerical Treatment of Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer Science & Business Media. p. 23. ISBN 978-3-540-71584-9 

Ver também

• Mecânica dos fluidos
• CFD (Computation Fluid Dynamics)
• Diferenciação Numérica

• Portal da matemática

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