Extensão algébrica

Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo L/K tal que todo elemento do corpo maior L é algébrico sobre o corpo menor K; isto é, todo elemento de L é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em K.[1][2] Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.[3][4]

As extensões algébricas do campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais são chamados de campos de números algébricos e são os principais objetos de estudo da teoria algébrica dos números. Outro exemplo de extensão algébrica comum é a extensão ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ dos números reais pelos números complexos.

Algumas propriedades

Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas.[5] A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas.[6] Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.[7]

Seja E um campo de extensão de K e a ∈ E. O menor subcampo de E que contém K e a é comumente denotado ${\displaystyle K(a).}$ Se a é algébrico sobre K, então os elementos de K(a) podem ser expressos como polinômios em a com coeficientes em K; isto é, K(a) também é o menor anel contendo K e a. Nesse caso, ${\displaystyle K(a)}$ é uma extensão finita de K (é um espaço vetorial K de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre K.[8] Essas propriedades não são válidas se a não for algébrico. Por exemplo, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ]}$, e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$[9]

Um campo algébrico fechado F não possui extensões algébricas próprias, ou seja, não possui extensões algébricas E com F < E.[10] Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.[11]

Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub K-álgebra de L é um corpo.

Referências

1. Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
2. Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
3. Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
4. Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
5. See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
6. Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
7. Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
8. Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
9. Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
10. Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
11. Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.

Bibliografia

• Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, ISBN 978-1-292-02496-7, Pearson 
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, ISBN 1-4020-2690-0, 1, Springer 
• Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, ISBN 0-07-040035-0, McGraw-Hill 
• McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, ISBN 0-486-66651-4, New York: Dover Publications, Zbl 0768.12001 
• Roman, Steven (1995), Field Theory, ISBN 9780387944081, GTM 158, Springer-Verlag 
• Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, ISBN 9780130878687, Prentice Hall 

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