Ângulo inscrito

Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 3 dos Elementos de Euclides[1]. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscrito

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente.

Assim, seja ${\displaystyle A{\hat {V}}B}$ o ângulo inscrito de medida ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle A{\hat {O}}B}$ o ângulo central correspondente de medida ${\displaystyle \beta .}$

Têm-se:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$ ou ${\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}}$

[2]

Demonstração

Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

1. ${\displaystyle O}$ está num lado do ângulo.
2. ${\displaystyle O}$ é interno ao ângulo.
3. ${\displaystyle O}$ é externo ao ângulo.

   

   

1° Caso

Têm-se que ${\displaystyle {\overline {OV}}\equiv {\overline {OA}},}$ pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que ${\displaystyle \triangle {OVA}}$ é isósceles, o que implica ${\displaystyle {\hat {V}}=\alpha }$ e ${\displaystyle {\hat {A}}=\alpha .}$

Ainda no triângulo ${\displaystyle OVA}$ tem-se ${\displaystyle \beta }$ como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

${\displaystyle \beta ={\hat {A}}+{\hat {V}}\qquad \Longrightarrow \qquad \beta =\alpha +\alpha \qquad \Longrightarrow \qquad \beta =2\alpha .}$

Logo, ${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$ e, como ${\displaystyle \beta ={\widehat {AB}},}$ vem ${\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.}$

2° Caso

Tomando um ponto ${\displaystyle C,}$ sendo a intersecção de ${\displaystyle {\overrightarrow {OV}}}$ com a circunferência e, sendo:

${\displaystyle A{\hat {V}}C=\alpha _{1},}$ ${\displaystyle A{\hat {O}}C=\beta _{1},}$ ${\displaystyle C{\hat {V}}B=\alpha _{2}}$ e ${\displaystyle C{\hat {O}}B=\beta _{2}.}$

Analisando esse ângulos, pode-se observar que ${\displaystyle \alpha _{1}}$ é ângulo inscrito de arco correspondente ${\displaystyle \beta _{1}}$ e que ${\displaystyle \alpha _{2}}$ é ângulo inscrito de arco correspondente ${\displaystyle \beta _{2}.}$

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

${\displaystyle {\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1}+\beta _{2}=2(\alpha _{1}+\alpha _{2})}\qquad \beta =2\alpha }$

Logo, ${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$ e, como ${\displaystyle \beta ={\widehat {AB}},}$ vem ${\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.}$

3° Caso

Tomando um ponto ${\displaystyle C}$ de intersecção de ${\displaystyle {\overrightarrow {VO}}}$ com a circunferência e, sendo:

${\displaystyle B{\hat {V}}C=\alpha _{1},}$ ${\displaystyle B{\hat {O}}C=\beta _{1},}$ ${\displaystyle A{\hat {V}}C=\alpha _{2}}$ e ${\displaystyle A{\hat {O}}C=\beta _{2}.}$

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

${\displaystyle {\begin{cases}\beta _{1}=2\alpha _{1}\\\beta _{2}=2\alpha _{2}\end{cases}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\beta _{1}-\beta _{2}=2(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}$

Visto que ${\displaystyle \beta =\beta _{1}-\beta _{2}}$ e ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}-\alpha _{2},}$ tem-se: ${\displaystyle \beta =2\alpha }$

Logo, ${\displaystyle \alpha ={\frac {\beta }{2}}}$ e, como ${\displaystyle \beta ={\widehat {AB}},}$ vem ${\displaystyle \alpha ={\frac {\widehat {AB}}{2}}.}$

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Referências

1. Euclides (2009). Os Elementos (PDF). Traduzido por Irineu Bicudo. São Paulo: Fundação Editora da UNESP. pp. 169–171. ISBN 978-85-7139-935-8 
2. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual 

Ligações externas

• «Munching on Inscribed Angles»  at Cut-the-Knot
• «Inscribed Angle»  With interactive animation
• «Angle inscribed in a semicircle»  With interactive animation
• «Arc Peripheral (inscribed) Angle»  With interactive animation
• «Arc Central Angle Theorem»  With interactive animation

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