Ciąg Eulera – ciąg liczb naturalnych zdefiniowany funkcją kwadratową:
Ciąg ten nazwano na cześć Leonharda Eulera.
Pierwszych 40 wyrazów tego ciągu jest liczbami pierwszymi i odkrycie tego ciągu było w czasach Eulera wyczynem – niełatwo było uzyskać tyle wartości pierwszych z rzędu bez komputera. Jednak dla otrzymujemy liczbę złożoną. Ogólniej, jest podzielne przez 41 dla każdego dającego z dzielenia przez 41 resztę 0 lub 1. Zatem dla takich naturalnych liczba jest zawsze złożona, z wyjątkiem równego 0 lub 1. Jasno widać to z równości:
Podobnie, 43 jest dzielnikiem dla każdego dającego resztę 42 (czyli −1) z dzielenia przez 43 itd.
Pewne wyrazy złożone
Niech Wtedy, dla całkowitego:
gdzie więc oba czynniki rozłożenia są Otrzymaliśmy więc rozkład właściwy, pokazujący, że jest liczbą złożoną. Co więcej, dla każdego rozkładu
dostajemy dwie nieskończone serie – jedną dla drugą dla
(ale wypiszemy ją tylko dla ):
czyli
Biorąc pod uwagę oba parametry i otrzymujemy -parametrową
rodzinę rozkładów.
- Przykład
Niech na przykład Wtedy więc:
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|